\documentclass{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsfonts} % provides: maticke N
\usepackage{verbatim}
\usepackage{amssymb} % kvoli \square
\usepackage{color}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{epsfig}

% Ma pisat aj riesenia? Ak nie, tento riadok vykomentuj
\def\pisriesenia{1}

\def\then{\Rightarrow}
\def\eps{\varepsilon}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}

\definecolor{lgray}{rgb}{0.90, 0.90, 0.90}
\newlength{\myboxwidth}      \myboxwidth=\textwidth       \advance\myboxwidth -13pt

\newenvironment{graybox}%
{%
 \vskip-1.8\baselineskip\noindent\begin{center}%
 \begin{Sbox}\begin{minipage}{\myboxwidth}%
}%
{%
 \end{minipage}\end{Sbox}\fcolorbox{black}{lgray}{\TheSbox}\end{center}%
% \vskip\baselineskip%
}
   
% makra: ulohy, moznostI
\def\stvorcek{$\square\ $} 
\def\moznostI#1{\stvorcek \hbox to 0.3\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostII#1{\stvorcek \hbox to 0.6\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostIII#1{\stvorcek #1\\}
\newcounter{cntuloha}
\def\uloha{\noindent\stepcounter{cntuloha}{\bf \arabic{cntuloha}. }}

% makra: vypisujeme aj riesenia?
\ifx\pisriesenia\undefined
 \let\riesenie=\comment 
 \let\endriesenie=\endcomment
\else
 \newenvironment{riesenie}{%
 \begin{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
 {\sl Rie�enie.}\\}{\end{minipage}\end{center}}
\fi


\begin{document}

\begin{graybox}
\medskip
\centerline{\Large\sc MatAl�za -- test�ky z deriv�ci�}
\smallskip
\centerline{\small \copyright Mi�oF. 1999--2003}
\vspace{0.5cm}
\end{graybox}

\centerline{\bf\large �tandardn� disclaimer}

\medskip

Tieto papiere {\bf NEMAJ�} sl��i� ako n�hrada za rie�enie pr�kladov. Pr�klady si najsk�r sk�ste 
prerie�i� sami, ak nie�o sami vymysl�te, omnoho �ah�ie si to zapam�t�te. V�etky v�sledky s� bez
akejko�vek z�ruky, som len �lovek a ob�as sa m�lim. �ubovo�n� prejavy uznania a v�aky s� v�tan�.

Tento dokument sa na�alej (aj ke� slima��m tempom, ale predsa) vyv�ja. Pokia� v �om n�jdete chyby, 
budem v�m v�a�n�, ak mi ich po�lete. Pokia� by ste do� chceli dop�sa� ve�a nov�ch vec�, zdroj�ky
s� va�e, len popros�m necha� v nich do bud�cna moje meno. Pokia� je to mo�n�, do r�znych online
arch�vov �tudijn�ch dokumentov neumiest�ujte k�piu tohto dokumentu, ale linku na�, aby sa pr�li�
ne��rili r�zne star� verzie. 

T�to verzia vznikla d�a {\bf\today{}} (a je explicitne nov�ia od v�etk�ch verzi�, ktor� nemaj� uveden� 
d�tum).

\bigskip


% =============================================

\uloha
Deriv�cia fcie $\sgn^3 x$ v $0$ je: \\
\moznostI{vlastn�}
\moznostI{nevlastn�}
\moznostI{neexistuje}

\begin{riesenie}
Je:
$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0+} \left({\sgn^3 x-\sgn^3 0\over x-0}\right) =
  \lim_{x\to 0+} {1-0\over x}=\infty$$
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0-} \left({\sgn^3 x-\sgn^3 0\over x-0}\right) =
  \lim_{x\to 0-} {-1-0\over x}=\infty$$
teda $f'_-(0)=f'_+(0)$, 
preto existuje $f'(0)$ a je $f'(0)=f'_-(0)=f'_+(0)=\infty$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
M� fcia 
$f(x) = 
  \left\{ 
    {x^{1/2} \leftarrow x\not\in \Q \atop x^{3/2} \leftarrow x\in \Q} 
  \right.$
v $0$ vlastn� alebo nevlastn� deriv�ciu? \\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Nie, lebo pr�slu�n� limita neexistuje. D�kaz: 
pre $x\in \Q_+$ je 
$\lim_{x\to 0} ({f(x)-f(0)\over x-0})=
 \lim_{x\to 0} {x^{3/2}\over x}=\lim_{x\to 0} {\sqrt x} = 0$
a pre $x\in \R_+\setminus\Q$ je 
$\lim_{x\to 0} ({f(x)-f(0)\over x-0})=
 \lim_{x\to 0} {x^{1/2}\over x}=\lim_{x\to 0} {1\over {\sqrt x}} = \infty$.
Keby h�adan� limita existovala, obe limity 
pre tieto z��enia by sa jej rovnali.
Ke�e s� ale r�zne, limita neex., q.e.d.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:(0,1)\to\R$ je neohrani�en� diferencovate�n� fcia. 
Je potom $f'$ neohrani�en�?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Zjavne s� len dve mo�nosti, ako m��e vyzera� f, 
ke� je neohrani�en�, diferencovate�n� a m� def. obor $(0,1)$ 
-- bu� $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ a $\lim_{x\to 1} f(x)=-\infty$, 
alebo naopak. BUNV nech je to takto. Uk�eme, �e $f'$
nie je zhora ohrani�en�, zdola sa uk�e rovnako. 
 
Sporom. Nech je $h$ horn� ohrani�enie $f'$, zoberme �ubovo�n� $x\in(0,1)$,
nech $f(x)=y$. Ur�ite existuje dos� mal� $x'$ tak�, �e $f(x')>y+h$. 
Ale pod�a Lagrangeovej vety o strednej hodnote existuje $c\in(x',x)$
tak�, �e $f'(c)={f(x')-f(x)\over x'-x}>{h\over x'-x}>h$, �o je spor.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Nech $f:\R\to\R$ je neohrani�en� diferencovate�n� fcia tak�, 
�e $\forall x\in\R; f''(x)>0$ a $f'(0)=f(0)=1$. 
Potom $\forall x\not =0; f(x)>x+1$" je:\\
\moznostI{pravdiv�}
\moznostI{nepravdiv�}

\begin{riesenie}
Z druhej deriv�cie vid�me, �e $f$ je r�dzo konvexn� 
a podmienka $f(x)>x+1$ je ekvivalentn� s t�m, 
�e graf $f$ le�� cel� nad doty�nicou v bode 0. 
T�to skuto�nos� ale z r�dzej konvexnosti a diferencovate�nosti 
$f$ vypl�va pre v�etky doty�nice, teda aj
pre doty�nicu v $0$, preto tvrdenie plat�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 3x diferencovate�n� fcia tak�, �e 
$f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=0$ a $\forall x; f^{(4)}(x)<0$. Potom: \\
\moznostI{$f'$ m� v $0$ lok�lne maximum}
\moznostIII{$f'$ m� v $0$ lok�lne minimum}
\moznostI{$f'$ rastie}
\moznostIII{$f'$ kles�}
\moznostI{$f'$ je r�dzokonvexn�}
\moznostIII{$f'$ je r�dzokonk�vna}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
$\forall x; f^{(4)}(x)<0 \then f^{(3)}(x)$ kles� 
$\then \sgn(x)=\sgn(f^{(3)}(x)) \then$ 
na $(-\infty,0)\ f''$ rastie, na $(0,\infty)$ kles� $\then$
$\forall x\not =0; f''(x)<0 \then f'$ kles�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech 2x diferencovate�n� fcia $f:\R\to\R$ m� lok�lne maximum v bode $0$, 
pri�om $\forall x\in\R; f''(x)+3f'(x)+2f(x)=0$ Potom :\\
\moznostI{$f(0)\geq 0$}
\moznostIII{$f(0)\leq 0$}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Ke�e je tam maximum, je $f'(x)=0$, $f''(x)\leq 0$, preto $f(x)\geq 0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
N�jdite $127.$ deriv�ciu funkcie ${x^2+3x-4 \over 2x+1}$ a jej hodnotu v $0$.

\begin{riesenie}
Pou�ijeme Leibnitzov vzorec, 
treba len tri s��tance tej sumy a vedie� vzorec pre deriv�ciu podielu.
S t�m si u� �ahko odvod�me vzorce postupne 
$\left( {1\over 2x+1} \right) ^{(n)} = 2^n.n!\cdot ({1\over 2x+1})^{n+1}$ 
(uh�dneme z prv�ch $3$ deriv�cii a dok�eme indukciou)
a n�sledne 
$f^{(100)} = {2^{99}.98! \over (2x+1)^{101}}\cdot (20200x^2 + 60196x - 78902)$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
N�jdite v�etky lok�lne extr�my fcie $(x+1)^{10}e^{-x}$.

\begin{riesenie}
Lok�lny extr�m m��e by� len v bodoch, 
kde je prv� deriv�cia nulov� a kde neexistuje.
Prv� deriv�cia fcie zo zadania je $e^{-x}(x+1)^9(9-x)$, 
t� je v�ade definovan� a nulov� je pre $x=-1$ a $x=9$.
�o je kde? Sprav�me druh� deriv�ciu, t� je 
$e^{-x}(x+1)^8(71-18x+x^2)$, 
pre $x=-1$ je teda kladn�, pre $x=9$ z�porn�.
Preto m� dan� fcia v $1$ lok. minimum a v $9$ lok. maximum.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Do vo�n�ho priestoru nakreslite graf fcie $x^2+x-1 \over x^2-2x+1$.

\begin{riesenie}
Treba spravi� prv� dve deriv�cie, z prvej vid�me rast�cos�, 
z druhej konvexnos�, a navy�e zr�ta� body, v ktor�ch pret�na osi.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
N�jdite $27.$ deriv�ciu funkcie $x^2 \ln x$ a jej hodnotu v $1$.

\begin{riesenie}
To ist� ako o p�r uloh sk�r, len (pod�a m�jho skromn�ho n�zoru) �ah�ie.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
N�jdite vzorec pre $(f^{-1})''$.

\begin{riesenie}
Postupn�mi �pravami dost�vame:
$$(f^{-1})''=
  \left( {1\over f'(f^{-1}(x))}\right) '= 
  {(f'(f^{-1}(x)))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2} = $$
$$={f''(f^{-1}(x)).(f^{-1}(x))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2} = 
  {f''(f^{-1}(x))\over (f'(f^{-1}(x)))^3}$$
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
M� fcia 
$f(x) = 
  \left\{ 
    {x^{5/3} \leftarrow x\not\in\Q \atop x^{7/3} \leftarrow x\in\Q} 
  \right.$
v $0$ vlastn� alebo nevlastn� deriv�ciu? \\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Podobne ako u� bolo, s t�m rozdielom, 
�e v tomto pr�pade pr�slu�n� limita existuje, 
je rovn� $0$, teda $f$ m� vlastn� deriv�ciu a odpove� znie �no.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\left[a,b\right]\to\R$ je diferencovate�n� fcia. 
Existuje $\max_{x \in \left[a,b\right]} f(x)$?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Toto je priamo veta z predn�ky. Existuje.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia, 
nech $f'_+(0)=\infty$, $f'_-(0)=-\infty$. M� $f$ v $0$ lok�lne maximum?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Ktor� odpove� da�???\\
Ke� $f'_+(0)=\infty$ a $f'_-(0)=-\infty$, 
znamen� to, �e neexistuje $f'(0)$, 
�o je ale spor s t�m, �e $f$ je diferenc., 
preto tak� fcia v�bec neexistuje.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g:\R\to\R$ s� dif. konk�vne fcie, 
$f$ je klesaj�ca, $g$ je rast�ca, potom $g\circ f$, t.j. $g(f(x))$ je:\\
\moznostI{klesaj�ca konk�vna}
\moznostIII{klesaj�ca konvexn�}
\moznostI{rast�ca konk�vna}
\moznostIII{rast�ca konvexn�}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Zo zadania m�me $\forall x,y\in\R,\ x<y: $\\
(v1) $f(x)>f(y)$ \\
(v2) $g(x)<g(y)$ \\
(v3) $0\geq f'(x)\geq f'(y)$ (z klesania a z konk�vnosti)\\
(v4) $g'(x)\geq g'(y)\geq 0$ (z konk�vnosti a rastu)\\
odtia� dost�vame: 

$$x<y \then f(x)>f(y) \then g(f(x))>g(f(y))$$

Teda $g(f(x))$ je klesaj�ca, chceme e�te zisti�, 
�i je $g\circ f$ konvexn�, pr�padne konk�vna. 
To je ekvivalentn� s t�m, �i je jej deriv�cia neklesaj�ca, resp. nerast�ca. 

Je $(g(f(x)))'=g'(f(x)).f'(x)$. 
Majme $x<y$. Z (v1) $\then f(x)>f(y)$ 
a n�sledne z (v4) $\then g'(f(y))\geq g'(f(x))\geq 0$.
Z (v3) m�me $0\geq f'(x)\geq f'(y)$. \\
Nu� a dokopy to d�va:

$$g'(f(y))\geq g'(f(x)) \land f'(y)\leq 0 \then  
  g'(f(y)).f'(y) \leq g'(f(x)).f'(y)$$
$$f'(y)\leq f'(x) \land g'(f(x))\geq 0 \then 
  g'(f(x)).f'(y)\leq g'(f(x)).f'(x)$$
no a z oboch dokopy dost�vame:\\
$x<y \then g'(f(y)).f'(y)\leq g'(f(x)).f'(x) \then $ 
deriv�cia je nerast�ca, teda $g\circ f$ je konk�vna.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je r�dzokonvexn� 2x dif. fcia, 
nech $f'(0)=f''(0)=0$. Potom $f$: \\
\moznostI{$f'$ m� v $0$ lok�lne maximum}
\moznostIII{$f'$ m� v $0$ lok�lne minimum}
\moznostI{$f'$ rastie}
\moznostIII{$f'$ kles�}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Z toho, �e je r�dzokonvexn�, vypl�va, �e 
$\forall x\in\R; f''(x)\geq 0$ a z�rove� �e $f'$ je rast�ca. 
Ke�e $f'(0)=0$, je pre $x>0\ f'(x)>0$ a pre $x<0\ f'(x)<0$. 
Preto $f$ na $\left( -\infty,0\right>$ kles�, 
na $\left< 0,\infty\right)$ rastie a teda m�
glob�lne minimum, �i chce, �i nechce.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Ak fcie $f,g:[0,\infty)\to\R$ s� diferenc. na $(0,\infty)$, 
pri�om $f(0)>g(0)$ a $\forall x\in (0,\infty); f'(x)>g'(x)$, 
tak $\forall x\in (0,\infty); f(x)>g(x)$." je:\\
\moznostI{pravdiv�}
\moznostI{nepravdiv�}

\begin{riesenie}
Protipr�klad:
$$f(x)=2x, 
 g(x)=\left\{ 
  {-100 \hfill \leftarrow x=0 \atop x+10 \leftarrow x\not =0} 
 \right.$$
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje prost� dif. fcia $f:\R\to\R$ tak�, �e jej inverzn� fcia 
nie je diferencovate�n�?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Ako vrav� veta, �ubovo�n�, ktor� m� v nejakom bode deriv�ciu $=0$, 
trivi�lny pr�klad (u� to vyzer� ako Kub��kove skript� :) je $x^3$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 2x spojite dif. fcia, 
pri�om $f'(0)=0$ a $f''$ m� ostr� lok�lne maximum v $0$. Potom:\\
\moznostIII{$f$ m� ostr� lok�lny extr�m v bode $0$}
\moznostIII{$f'$ ma ostr� lok. extr�m v bode $0$}
\moznostIII{$f$ je r�dzomonot�nna na niektorom okol� bodu $0$}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
$f''$ je pod�a zadania spojit�, t.j. existuje tak� $\eps$, 
�e na $(-\eps,\eps)$ m� $f''$ v�ade rovnak� znamienko. 
To ale znamen�, �e $f'$ na tomto intervale bu� rastie, alebo kles�.
V ka�dom pr�pade ale z $f'(0)=0$ vieme, �e 
na jednej strane od $0$ je kladn� a na druhej z�porn�. 
Na jednej strane teda $f$ rastie, ne druhej kles�, 
preto tam m� lok�lny extr�m.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. a nech $\forall x\in\R; f(x)f'(x)<0$, potom:\\
\moznostIII{$f$ m� v $+\infty$ vlastn� limitu}
\moznostIII{$f$ m� v $+\infty$ nevlastn� limitu}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Ak pre nejak� $x$ je $f(x)>0$, je $\forall x; f(x)>0$, 
lebo keby pre nejak� nebolo, z vety o medzihodnote vieme, 
�e existuje $c$ tak�, �e $f(c)=0$, pre� ale potom nie je $f(c).f'(c)<0$.
Analogicky pre z�porn�. Preto je $f$ bu� kladn� a klesaj�ca 
alebo z�porn� a rast�ca. A ke�e nem��e prekro�i� nulu 
a ujs� do nekone�na, vid�me, �e limita je vlastn�. 
(tomu sa hovor� form�lny d�kaz :)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Nech je $f:\R\to\R$ klesaj�ca a konk�vna. 
Potom $f$ m� v $+\infty$ limitu $-\infty$." je:\\
\moznostI{pravdiv�}
\moznostI{nepravdiv�}

\begin{riesenie}
Ke�e je konk�vna, le�� cel� pod alebo na svojej �ubovo�nej doty�nici, 
ke�e je klesaj�ca, existuje bod, v ktorom m� z�porn� deriv�ciu. 
Ke� zoberieme funkciu $g$ ur�en� touto priamkou, 
t� m� limitu $-\infty$ a je $\forall x; f(x)\leq g(x)$, vsio jasno.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech pre $f,g,h:\R\to\R$ plat� $\forall x\in\R; f(x)\leq g(x) \leq h(x)$
a $f'(0)=h'(0)=1$. Potom:\\
\moznostIII{$g$ nem� v $0$ nevlastn� deriv�ciu }
\moznostIII{$g$ je diferenc. v $0$ a je $g'(0)=1$ }
\moznostIII{$g$ je rast�ca v $0$, ale nemus� by� diferenc. v $0$ }
\moznostIII{$g$ jr spojit� v $0$, ale nemus� by� rast�ca ani diferenc. }
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
V�etko s� blbosti. Nech $f(x)=x+1, h(x)=x-1$, 
$g$ je niekde v tom p�se a m��e si robi� �o len sa jej zachce. 
L�skav� �itate� (op� in�pir�cia skriptami :) 
si �ahko n�jde kontrapr�klady.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech m� spojit� $f:\R\to\R$ v $0$ glob�lne maximum. 
Mus� potom existova� tak� $\eps$, 
�e $f$ je rast�ca na $(-\eps ,0)$ a klesaj�ca na $(0,\eps )$?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Tentokr�t nie�o zo skr�pt. Zoberme fciu
$$f(x) = 
  \left\{ 
    {-x^2\left(2+\sin {1\over x}\right) \leftarrow x\not =0 
      \atop 
    0 \hfill \leftarrow x=0 } \right.$$
T� je diferencovate�n�, lebo
$$f'(x) = 
  \left\{
      {\cos{1\over x}-2x\left( 2+\sin {1\over x}\right) 
      \hfill \leftarrow x\not =0 
    \atop 
      \lim_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x}=
      \lim_{x\to 0}\left( x.\left( 2+\sin{1\over x}\right) \right)=0 
      \leftarrow x=0 } 
  \right.$$
a teda $f$ je spojit� a �ahko sa presved��me, 
�e tak� $\eps$ nen�jdeme -- �ubovo�ne bl�zko k $0$ vieme n�js� bod, 
v ktorom je deriv�cia kladn� aj v ktorom je z�porn�. 
(Napr�klad v $x={1\over 2n\pi}$ je kladn�, 
v $x={1\over (2n+1)\pi}$ z�porn�.)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia tak�, �e $\forall x\in\R; (f'(x))^2<1$. 
Existuje potom $c\in\R$ tak�, �e $\forall x\in\R;|f(x)|<|x|+c$?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Polo�me $c=|f(0)|+1$. Zoberme funkciu $x+c$ na $<0,\infty$, 
uk�me, �e $f$ le�� pod �ou, ostatn� tri kvadranty analogicky. 
Ozna�me $g(x)=f(x)-x-c$, z $f'(x)<1, (x+c)'=1 \then g'(x)<0$, 
teda $g$ je klesaj�ca, a ke�e je z�porn� v $0$, je z�porn� v�ade,
q.e.d.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech dif. fcia $f:\R\to\R$ m� v ka�dom bode nenulov� deriv�ciu. 
Mus� by� potom $f$ r�dzomonot�nna?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Ke� nie je r�dzomonot�nna, existuj� $a,b, a\not =b$ 
tak�, �e $f(a)=f(b)$, z Rolleho vety 
existuje $c\in (a,b); f(c)=0$. Tak�e mus�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ nem� v $0$ limitu sprava ani z�ava, 
pri�om $\forall \eps \in (0,1); f(-\eps)+1<f(0)<f(\eps)-1$. 
Potom $f'(0)$: \\
\moznostI{neexistuje}
\moznostI{je nevlastn�}
\moznostIII{je vlastn�}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Nevlastn�, konkr�tne $\infty$, ako pre $\sgn x$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 3x dif. fcia, pri�om 
$f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(3)}(0)=-1$. Potom:\\
\moznostI{$f$ m� v $0$ lok. maximum }
\moznostIII{$f$ m� v $0$ lok. minimum }
\moznostI{$f$ je v $0$ rast�ca }
\moznostIII{$f$ je v $0$ klesaj�ca }
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
$f''$ je v $0$ klesaj�ca, preto je napravo od $0$ z�porn�, 
na�avo kladn�, preto $f'$ napravo kles�, na�avo rastie 
a ke�e v $0$ je $0$, je mimo nuly z�porn�, preto $f$ kles�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia, 
nech spojit� fcia $g:\R\to\R$ nie je diferencovate�n�. 
M��e by� potom fcia $f+g$ diferencovate�n�?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Keby v bode, kde $g$ nie je diferencovate�n�, 
bola diferencovate�n� $f+g$, 
je tam diferencovate�n� aj $(f+g) + (-f) = g$, spor.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Dirichletova funkcia 
$\chi(x)=\left\{ 
  {0 \leftarrow x\not\in\Q \atop 1 \leftarrow x\in\Q} 
\right.$ 
m� nevlastn� deriv�ciu v aspo� jednom bode $x\in\R$." je:\\
\moznostI{pravdiv�}
\moznostI{nepravdiv�}

\begin{riesenie}
Nepravdiv�, Dirichletova fcia nem� nikde deriv�ciu.\\
D�kaz: uk�eme, �e neexistuje $\lim_{y\to x+} \chi(y)$ pre �iadne $x$. 
Ak toti� zoberieme z��enia 
na $Q_x = \{ y; y\in\Q\land y>x \}$ 
a na $I_x = \{ y; y\not\in\Q\land y>x \}$, 
pre $x\in\Q$ n�m vyjde $0$, resp. $\infty$ (pod�a toho, �i $x\in\Q$),
pre $x\not\in\Q$ vyjde $-\infty$, resp. $0$, �i�e r�zne hodnoty. 
Keby t� limita existovala, limity pre obe z��enia by sa jej rovnali.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\left[a,b\right]\to\R$ je dif. fcia, potom $f$ je ohrani�en�.\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemo�no rozhodn��}

\begin{riesenie}
Priamo z predn�ky. Plat�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g:\R\to\R$ s� dif. fcie tak�, �e 
$f(0)=f'(0)=0$, $g(0)=0$ a $g'(0)>0$. 
Potom existuje okolie $O$ bodu $0$ tak�, �e:\\
\moznostIII{$\forall x \in O; f(x)\not =g(x)$}
\moznostIII{$\forall x\in O; x\not =0; |f(x)|<|g(x)|$}
\moznostIII{$\forall x\in O; f(x)\leq g(x)$}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
% FIXME
Intuit�vne: $f$ m��e pokojne by� nie�o �karedo osciluj�ce, nem� 
pre�o by� ohrani�en� $g$ na nejakom intervale.
Asi by som to ale nechal neza�krtnut� :)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 2x dif. a nech m� $f''$ z�porn� maximum. 
Vypl�va z existencie kone�nej $lim_{x\to\infty} f(x)$ 
existencia kone�nej $lim_{x\to\infty} f'(x)$?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Ke�e $f''$ je z�porn�, $f'$ je klesaj�ca. 
Vieme, �e $f$ je rast�ca, lebo keby nebola, m��e by� bu� klesaj�ca, 
vtedy ale z konk�vnosti m� v $\infty$ limitu $-\infty$, 
alebo nie je prost�, vtedy existuj� $a<b$ tak�, �e $f(a)=f(b)$, 
teda z Rollovej vety existuje $c$, v ktorom $f'(c)=0$, 
od neho �alej je z konk�vnosti klesaj�ca a sme, kde sme boli. 
No a ke� je $f$ rast�ca, konk�vna a m� kone�n� limitu, 
m� $f'$ zjavne limitu 0. Presn� d�kaz nech�vam na �itate�a, 
vypl�va to z faktov, �e $f'$ kles�, je kladn� 
a vieme sa dosta� �ubovo�ne bl�zko k $0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech 2x dif. fcia $f:\R\to\R$ je nez�porn� na $R-\{ 0\}$ 
a nech $f(0)=0$. Potom: \\
\moznostI{$f'(0)=0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)=0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostI{$f'(0)<0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)<0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostI{$f'(0)>0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)>0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Ke�e $f$ je dif., je spojit�, 
ke�e je nez�porn� na $R-\{ 0\}$, je $f'(0)=0$ 
(limita sprava je limita v�razu, ktor� je ur�ite nez�porn�, 
z�ava nekladn�, preto $f'_+(0)\geq 0 \land f'_-(0)\leq 0$,
ke�e deriv�cia existuje, mus� by� nulov�).

Keby bola $f''(0)<0$, bola by $f'$ na nejakom intervale
$(0,\eps)$ z�porn� -- potom by ale na tomto intervale 
bola z�porn� aj $f$, �o je spor. Preto $f''(0)\geq 0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech diferenc. fcia $f:(0,1)\to\R$ m� ohrani�en� $f'$. 
Vypl�va z toho, �e $f$ je ohrani�en�?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
�no. D�kaz: 
Zoberieme hodnotu $c=f\left( {1\over 2}\right)$, 
polo��me $d = \sup f', e=\inf f'$, 
uk�eme, �e cel� graf napravo le�� pod $d(x-{1\over 2})+c$, 
nad $e(x-{1\over 2})+c$, 
na�avo pod $e(x-{1\over 2})+c$, 
nad $d(x-{1\over 2})+c$.\\
�e �as� napravo le�� pod $d(x-{1\over 2})+c$: 
Zoberme funkciu $g(x)=d(x-{1\over 2})+c-f(x)$, 
t� m� v ka�dom bode z $\left< {1\over 2},1\right)$ deriv�ciu nekladn�, 
teda je nerast�ca, v ${1\over 2}$ je $0$, 
preto je na $\left< {1\over 2},1\right) $ nekladn�. 
Ostatn� analogicky. \\
Potom ale vid�me, �e funk�n� hodnoty s� zhora ohrani�en� 
$\max ({d\over 2}+c,-{e\over 2}+c)$ 
a zdola $\min (-{d\over 2}+c,{e\over 2}+c)$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Prv� deriv�cia funkcie $x^2(\sgn x)^3$ v bode $0$:\\
\moznostI{je vlastn�}
\moznostI{je nevlastn�}
\moznostI{neexistuje}

\begin{riesenie}
Intuit�vne je to $0$. 
Kto never�, nech si nakresl�, kto st�le never�, nech si zr�ta.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje spojit� $f:\R\to\R$, 
ktor� m� v ka�dom bode z $\R$ nevlastn� deriv�ciu?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Neexistuje. 
Zoberme �ubovo�n� $a,b\in\R, a<b$. 
Z Lagrangeovej vety existuje $c$ tak�, �e $f'(c)={f(b)-f(a)\over b-a}$, 
tak�e deriv�cia v $c$ je vlastn�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Ak $f:\R\to\R$ je 3x diferenc. fcia, 
$\forall x\in\R; f^{(3)}(x)<0$, $f(0)=f'(0)=f''(0)=2$, tak 
$\forall x\in\R-\{ 0\} ; f(x)\leq x^2+2x+2$." je:\\
\moznostI{pravdiv�}
\moznostI{nepravdiv�}

\begin{riesenie}
Zoberme funkciu 
$f(x)=-x^3+x^2+2x+2$, je $f'(x)=-3x^2+2x+2, f''(x)=-6x+2, f^{(3)}(x)=-6$, 
tak�e $f(0)=f'(0)=f''(0)=2$ a $\forall x; f^{(3)}(x)<0$, 
teda $f$ sp��a podmienky zo zadania. 
Je ale $f(-1)=2>1=(-1)^2+2.(-1)+2$, preto tvrdenie neplat�. 
Pozn.: keby bolo v zadan� o deriv�ciu viac, tak by to platilo.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:(-1,1)\to\R$ je dif. fcia tak�, �e 
$f'(0)=0$ a $\forall x\in (-1,1)-\{ 0\} ; f'(x)<0$. Potom:\\
\moznostIII{$f$ je klesaj�ca v bode $0$}
\moznostIII{$f$ nie je klesaj�ca v bode $0$}
\moznostII{�iadna z predch�dzaj�cich mo�nost� nie je spr�vna}

\begin{riesenie}
Existuje okolie $0$, na ktorom $f$ kles�, a teda $f$ je klesaj�ca v $0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje spojit� fcia $f:\R\to\R$, 
ktor� m� v bode svojho lok�lneho extr�mu 
nevlastn� jednostrann� limity opa�n�ch znamienok?\\
\moznostI{�no}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Napr�klad $f(x)=\sqrt{|x|}$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
N�jdite vzorec pre $(g^3)''$, kde $g=f^{-1}$, pomocou deriv�cii $f$.

\begin{riesenie}
Nech existuje nenulov� $f'(f^{-1}(x))$. Potom:
$$\left( (f^{-1}(x))^3 \right)^{(3)}=
  \left( 3(f^{-1}(x))^2\cdot {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)' =$$
$$= 3\cdot \left( 2f^{-1}(x)\cdot \left( {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)^2 
  \ +\ (f^{-1}(x))^2\cdot {(f'(f^{-1}(x)))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2 } \right)=$$
$$= 3\cdot \left( 2f^{-1}(x)\cdot \left( {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)^2 
  \ +\ (f^{-1}(x))^2.f''(f^{-1}(x))\cdot {1\over (f'(f^{-1}(x)))^3 } \right)=$$
$$= {3f^{-1}(x)\over (f'(f^{-1}(x)))^2 }\cdot \left( 2
  \ +\ {f^{-1}(x).f''(f^{-1}(x)) \over f'(f^{-1}(x)) } \right)$$
Pr�pad, ke� je $f'(f^{-1}(x))=0$, si l�skav� �itate� 
(ke�e nem� na v�ber) dopln� s�m.
\end{riesenie}

\end{document}
