\documentclass{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsfonts} % provides: maticke N
\usepackage{verbatim}
\usepackage{amssymb} % kvoli \square
\usepackage{color}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{epsfig}

% Ma pisat aj riesenia? Ak nie, tento riadok vykomentuj
\def\pisriesenia{1}

\def\then{\Rightarrow}
\def\eps{\varepsilon}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}

\definecolor{lgray}{rgb}{0.90, 0.90, 0.90}
\newlength{\myboxwidth}      \myboxwidth=\textwidth       \advance\myboxwidth -13pt

\newenvironment{graybox}%
{%
 \vskip-1.8\baselineskip\noindent\begin{center}%
 \begin{Sbox}\begin{minipage}{\myboxwidth}%
}%
{%
 \end{minipage}\end{Sbox}\fcolorbox{black}{lgray}{\TheSbox}\end{center}%
% \vskip\baselineskip%
}
   
% makra: ulohy, moznostI
\def\stvorcek{$\square\ $} 
\def\moznostI#1{\stvorcek \hbox to 0.3\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostII#1{\stvorcek \hbox to 0.6\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostIII#1{\stvorcek #1\\}
\newcounter{cntuloha}
\def\uloha{\noindent\stepcounter{cntuloha}{\bf \arabic{cntuloha}. }}

% makra: vypisujeme aj riesenia?
\ifx\pisriesenia\undefined
 \let\riesenie=\comment 
 \let\endriesenie=\endcomment
\else
 \newenvironment{riesenie}{%
 \begin{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
 {\sl Rie�enie.}\\}{\end{minipage}\end{center}}
\fi

% uvodzovky
\catcode`\"=13
\def "{\begingroup\clqq\def "{\endgroup\crqq}}
\def\dospecials{\do\ \do\\\do\{\do\}\do\$\do\&%
  \do\#\do\^\do\^^K\do\_\do\^^A\do\%\do\~\do\"}

\begin{document}

\begin{graybox}
\medskip
\centerline{\Large\sc MatAl�za -- test�ky z postupnost� a lim�t}
\smallskip
\centerline{\small \copyright Mi�oF. 1999--2003}
\vspace{0.5cm}
\end{graybox}

\centerline{\bf\large �tandardn� disclaimer}

\medskip

Tieto papiere {\bf NEMAJ�} sl��i� ako n�hrada za rie�enie pr�kladov. Pr�klady si najsk�r sk�ste 
prerie�i� sami, ak nie�o sami vymysl�te, omnoho �ah�ie si to zapam�t�te. V�etky v�sledky s� bez
akejko�vek z�ruky, som len �lovek a ob�as sa m�lim. �ubovo�n� prejavy uznania a v�aky s� v�tan�.

Tento dokument sa na�alej (aj ke� slima��m tempom, ale predsa) vyv�ja. Pokia� v �om n�jdete chyby, 
budem v�m v�a�n�, ak mi ich po�lete. Pokia� by ste do� chceli dop�sa� ve�a nov�ch vec�, zdroj�ky
s� va�e, len popros�m necha� v nich do bud�cna moje meno. Pokia� je to mo�n�, do r�znych online
arch�vov �tudijn�ch dokumentov neumiest�ujte k�piu tohto dokumentu, ale linku na�, aby sa pr�li�
ne��rili r�zne star� verzie. 

T�to verzia vznikla d�a {\bf\today{}} (a je explicitne nov�ia od v�etk�ch verzi�, ktor� nemaj� uveden� 
d�tum).

\bigskip

% =============================================

\uloha
Mnozina vsetkych iracionalnych cisel tvaru $\sqrt{2}+q$, kde $q\in\Q$, je \\
\moznostI{prazdna}
\moznostIII{neprazdna konecna}
\moznostI{nekonecna spocitatelna}
\moznostIII{nespocitatelna}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Jej mohutnos� je zjavne rovn� $|\Q|$, preto je nekone�n� spo��tate�n�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak pre funkciu $f:\R\to\R$ plati $f(x)=0$ pre $x\not\in\Q$ a $f(x)=x$ pre $x\in\Q$, tak jej limita v 0 \\
\moznostI{je 0}
\moznostIII{je konecna a nenulova}
\moznostI{je nevlastna}
\moznostIII{neexistuje}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Jej limita v nule je 0, ke� si povieme �ubovo�n� $\eps$, tak
$\forall x\in\left(-\eps,\eps\right);  |f(x)|<\eps$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak $f:\R\to\R$ je ohranicena funkcia a jej supremum je cislo $a$, tak funkcia $g(x)=f(2x)$ \\
\moznostI{ma supremum $2a$}
\moznostIII{ma supremum $a$}
\moznostI{ma supremum $a/2$}
\moznostIII{je ohranicena, ale jej supremum moze byt rozne od $a,2a,a/2$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Keby sme si nakreslili grafy, vid�me, �e
$g(x)$ je vlastne $2\times$ zhusten� $f(x)$, ale obor hodn�t a teda ani hodnota supr�ma sa nezmen�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f(x)=2-3x$ pre $x\in\left<0,2\right>$ a $f(x)=1+x$ pre $x\not\in\left<0,2\right>$. 
Pre ktore $x\in\R$ plati $f(f(x)) = 3 - 3x$? \\
\moznostI{$x\in \left<2/3,2\right>$}
\moznostIII{$x\in \left(2/3,2\right)$}
\moznostI{$x\in \left<-1,0\right>$}
\moznostIII{$x\in \left<-1,0\right)$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Sta�� por�ta� hodnoty v koncov�ch bodoch intervalov uveden�ch v mo�nostiach. Dostaneme:
$f(f(2/3))=f(0)=2\not=3-3(2/3)$, $f(f(2))=f(-4)=-3=3-3.2$ a �alej r�ta� ani nemus�me. Toti�
interval neobsahuj�ci $2/3$ a obsahuj�ci 2 v mo�nostiach nem�me. Koho by zauj�malo presn� rie�enie,
m��e si dor�ta� priebeh fcie na celom $\R$, vyjde interval $\left(2/3,2\right>$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech pre funkcie $f,g:\R\to\R$ plati $\lim_{x\to 0} f(x)=2$, $\lim_{x\to 0} g(x)=0$. 
Potom nerovnost $f(x)>g(x)$ plati \\
\moznostIII{v bode 0, ale nemusi platit v ziadnom jeho okoli}
\moznostIII{v niektorom okoli bodu 0}
\moznostIII{v niektorom prstencovom okoli bodu 0, ale nemusi platit v bode}
\moznostIII{nanajvys v konecnom pocte bodov}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Zoberme fcie $f(x)=x+2$ a $g(x)=x$ pre $x\not=0$, $g(0)=47$. Tieto fcie sp��aj� podmienky
zo zadania, pri�om vylu�uj� prv�, druh� aj �tvrt� mo�nos�. Tretia mo�nos� je spr�vna -- z defin�cie
limity existuje prstencov� okolie $F$ nuly, na ktorom je $|f(x)-2|<1$, takisto existuje 
prst. okolie $G$ nuly, na ktorom $|g(x)|<1$, na ich prieniku je $f(x)>g(x)$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Inverzna funkcia k zuzeniu funkcie $y=2+\cos x$ na intervale $\left<-\pi,0\right>$ je \\
\moznostI{2-arccos x}
\moznostIII{arccos(x+2)}
\moznostI{arccos(x-2)}
\moznostIII{-arccos(x-2)}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Spr�vna mo�nos� je �tvrt�. Bu� si nakresl�me obr�zok, alebo upravujeme: Inverzn� funkcia m�
predpis $x=2+\cos y$, pri pou�it� $\arccos$ treba spr�vne ur�i� znamienko.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak $A$ je nutna podmienka pre $B$ a sucasne postacujuca podmienka pre negaciu vyroku $C$, tak plati \\
\moznostI{$C\then B$}
\moznostIII{$B\then C$}
\moznostI{$C\then\lnot B$}
\moznostIII{$\lnot B\then C$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Zo zadania m�me $B\then A$ a $A\then\lnot C$, odtia� $B\then\lnot C$ alebo in�� zap�san�
$C\then\lnot B$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $g$ je inverzna funkcia k funkcii $f:\R\to\R$. 
Ak graf funkcie $h$ je sumerny s grafom funkcie $f$ podla priamky $y=x+1$, tak $h(x)=$ \\
\moznostI{$g(x-1)+1$}
\moznostIII{$g(x-1)-1$}
\moznostI{$g(x+1)-1$}
\moznostIII{$g(x+1)+1$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Funkcie $\widehat h(x)=h(x)-1$ a $\widehat f(x)=f(x)-1$ s� s�mern� pod�a osi $y=x$. 
(A teda $\widehat f$ je inverzn� k $\widehat h$.)
Nech $\left[ x,y \right]\in h$. Potom postupne:
$\left[ x,y-1 \right]\in \widehat h$,
$\left[ y-1,x \right]\in \widehat f$,
$\left[ y-1,x+1 \right]\in f$,
$\left[ x+1,y-1 \right]\in g$. Teda ak $h(x)=y$, tak $g(x+1)=y-1$. Z druhej rovnice
vyjadr�me $y$, dosad�me do prvej, dostaneme $h(x)=g(x+1)+1$. 

Na teste sta�� povedzme zobra� $h(x)=2x$, dor�ta� $f$ a $g$ a spo�ahn�� sa na intu�ciu, 
�e pre v�etky $h$ to vyjde rovnako. BTW zadanie je o tom, �e zoberieme graf $h$ a dvakr�t
ho zobraz�me v osovej s�mernosti pod�a dvoch rovnobe�n�ch os�. Zlo�en�m dvoch tak�chto 
osov�ch s�mernost� je posunutie (v smere kolmom na ne o dvojn�sobok ich vzdialenosti).
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Negaciou vyroku "rydza monotonnost funkcie $f$ je nutna podmienka pre jej prostost" je vyrok \\
\moznostIII{rydza monotonnost funkcie f je postacujuca podmienka pre jej prostost}
\moznostIII{prostost funkcie f je postacujuca podmienka pre jej rydzu monotonnost}
\moznostIII{prostost funkcie f je nutna podmienka pre jej rydzu monotonnost}
\moznostIII{existuje rydzomonotonna funkcia, ktora nie je prosta}
\moznostIII{existuje prosta funkcia, ktora nie je rydzomonotonna}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Ekvivalentne preformulujme v�rok zo zadania na "Ka�d� prost� fcia mus� by� r�dzomonot�nna."
Odtia� u� �ahko vid�me, �e spr�vna odpove� je piata.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Zapiste predpis funkcie $\sin(2 \arccos x)$ bez pouzitia gonio- a cyklometrickych funkcii 
a svoj postup zdovodnite! 

\begin{riesenie}
Pou�it�m vzorca pre $\sin 2x$ a in�ch zn�mych vz�ahov dost�vame:
$$ \sin(2 \arccos(x)) = 2 \sin(\arccos(x)) \cos(\arccos(x)) = $$
$$ 2x \sin(\arccos(x)) = 2x \sqrt{1 - \cos^2(\arccos(x))} = 2x\sqrt{1-x^2} $$
plat� na intervale $\left<0,\pi/2\right>$ 
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Dokazte nerovnost: $\forall n\in N, n\geq 3; n^{n+1} > (n+1)^n$

\begin{riesenie}
Vydel�me obe strany $n^n$, dostaneme ekvivalentn� nerovnos� $n > \left(1+(1/n)\right)^n$, no 
a zaspom�name na predn�ky. V�raz na pravej strane je s rast�cim $n$ rast�ci a m� limitu $e$.

(Jedna mo�nos� form�lneho d�kazu: Pre $n=3,4$ nerovnos� plat�. Nech $a_n=\left(1+(1/n)\right)^n$,
$b_n=\left(1+(1/n)\right)^{n+1}$. Potom $\{a_n\}$ je rast�ca, $\{b_n\}$ klesaj�ca, to sa 
dok�e tak, �e spo��tame podiel dvoch po sebe id�cich �lenov a porovn�me ho s 1. Navy�e
zjavne $\forall n; a_n<b_n$. Potom ale $\forall n; b_1>a_1\geq a_n$. V�raz na pravej
strane na�ej nerovnosti je teda ur�ite men�� ako $b_1=4$ a vyhrali sme.)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak funkcia $f:\R\to\R$ splna podmienku 
$\forall\eps>0;~ \exists n\in N;~ \forall x\in (-\eps, \eps) \setminus \{ 0 \};~ f(x)>n$, tak \\
\moznostIII{$\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$}
\moznostIII{$\lim_{x\to 0} f(x)$ existuje, ale nemusi byt nevlastna}
\moznostIII{$f$ je zdola ohranicena, ale $\lim_{x\to 0} f(x)$ nemusi existovat}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Spr�vna odpove� je mo�no prekvapivo tretia. �ubovo�n� fcia $f$, pre ktor� $\forall x; f(x)>1$
sp��a podmienky zadania. ($\forall\eps;~ \exists n=1\ldots$) Na druhej strane, keby pre nejak�
$x\not=0$ bolo $f(x)\leq 1$ (alebo 0, pod�a toho, �i je aj 0 prir. ��slo), pre $\eps>|x|$ by 
�iadne $n$ neexistovalo $\then$ $f$ by nesp��ala podmienky zo zadania. Tak�e $f$ je zdola ohrani�en�
napr. hodnotou $\min(0,f(0))$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak $\lim_{n\to\infty} a_n=\infty$ a postupnost $\{b_n-a_n\}_{n=1}^\infty$ je rastuca, 
tak $\lim_{n\to\infty} b_n$ je \\
\moznostI{$\infty$}
\moznostI{$-\infty$}
\moznostIII{neexistuje alebo je konecna}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
$b_n=(b_n-a_n)+a_n\geq \underbrace{(b_0-a_0)}_{\rm kon�t.}+a_n$, preto aj $\lim_{n\to\infty} b_n=\infty$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g,h$ su funkcie definovane na $\R$, pricom $f(x)<h(x)<g(x)$ pre
vsetky $x\in\R\setminus\{0\}$, $\lim_{x\to 0} (g(x)-f(x))=0$ a $\lim_{x\to 0} g(x)$ neexistuje. 
Potom $\lim_{x\to 0} h(x)$ \\
\moznostI{neexistuje}
\moznostI{$=0$}
\moznostIII{existuje, ale moze byt $\not=0$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Intuit�vne z "vety o dvoch policajtoch": Dvaja policajti $f,g$ ved� zlo�inca $h$, ke�e
id� obaja tam isto, tak ho tam doved� a mus� �s� tade ako oni. Teda dos� bl�zko pri 0 
vyzeraj� $f,g,h$ skoro rovnako, preto ani $h$ nem� limitu.

Form�lne: $\lim_{x\to 0} g(x)=\lim_{x\to 0} (g(x)-h(x))+h(x)$. 
Ke�e je $\forall x; 0<g(x)-h(x)<g(x)-f(x)$, je $\lim_{x\to 0} (g(x)-h(x))=0$. 
Teda ak by existovala $\lim_{x\to 0} h(x)$, existovala by aj $\lim_{x\to 0} g(x)$
a rovnali by sa. Preto $\lim_{x\to 0} h(x)$ neexistuje.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak postupnost $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je rozdielom dvoch rastucich postupnosti, 
z ktorych aspon jedna je ohranicena, tak $\lim_{n\to\infty} a_n$ \\
\moznostIII{existuje, ale nemusi byt vlastna}
\moznostIII{je vzdy vlastna}
\moznostIII{neexistuje, alebo je nevlastna}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Ak s� ohrani�en� obe, tak limita je vlastn� a je �ou rozdiel ich supr�m. Ak je ohrani�en�
len 1, tak t� ohrani�en� m� kone�n� limitu, t� neohrani�en� m� limitu $\infty$, ich rozdiel
m� teda limitu $\pm\infty$. Preto spr�vna odpove� je prv�.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g:\R\setminus\{0\}\to\R^+$ su kladne funkcie, $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$, 
$\lim_{x\to 0} {f(x)\over g(x)}=0$. Potom $\lim_{x\to 0} {g^2(x) \over f(x)-g(x)}$ \\
\moznostI{$=0$}
\moznostI{$=-\infty$}
\moznostIII{$=\infty$}
\moznostI{$=1$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

% FIXME
\begin{riesenie}
Intuit�vne $f$ je bl�zko pri 0 zanedbate�n� v porovnan� s $g$, limita sa zvrhne na
$\lim_{x\to 0} {g^2(x) \over -g(x)}=\lim_{x\to 0} -g(x)=-\infty$. 
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak v postupnosti $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ je podpostupnost $\{a_{2n}\}_{n=1}^\infty$ rastuca
a podpostupnost $\{a_{2n-1}\}_{n=1}^\infty$ klesajuca, pricom $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$,
tak \\
\moznostIII{$\{a_n\}_{n=1}^\infty$ konverguje}
\moznostIII{$\{a_{2n}\}_{n=1}^\infty$ aj $\{a_{2n-1}\}_{n=1}^\infty$ konverguju, ale
  $\lim_{n\to\infty} a_n$ nemusi existovat}
\moznostIII{existuje najviac 1 z limit $\lim_{n\to\infty} a_n$,
  $\lim_{n\to\infty} a_{2n}$, $\lim_{n\to\infty} a_{2n-1}$}
\moznostIII{existuju prave 2 z limit $\lim_{n\to\infty} a_n$,
  $\lim_{n\to\infty} a_{2n}$, $\lim_{n\to\infty} a_{2n-1}$}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Plat� $\forall n; a_{2n}<a_{2n+1}$. Sporom, keby nie, zoberme druh� najmen�ie $k$, pre ktor�
to neplat�, je $a_{2k}>a_{2k+1}$, potom $\forall k'>k;~ a_{2k'}>a_{2k}>a_{2k+1}>a_{2k'+1}$,
a teda $\forall k'>k;~ a_{2k'}-a_{2k'+1}>\underbrace{a_{2k}-a_{2k+1}}_{{\rm kon�t.}}$.
To je spor s $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$.

Je teda $\forall n;~ a_{2n}<a_{2n+1}<a_{2n-1}<\ldots<a_1$, preto postupnos�
$\{a_{2n}\}_{n=1}^\infty$ je zhora ohrani�en� hodnotou $a_1$, podobne druh� je zdola ohrani�en�
hodnotou $a_0$. Preto obe maj� limity. Ke�e $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0$, tieto 
limity sa rovnaj� a zjavne je ich spolo�n� hodnota aj hodnotou $\lim_{n\to\infty} a_n$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak pre fciu $f:\R\to\R$ v kazdom bode $a\in\R$ plati 
$\lim_{x\to a-} f(x) \leq f(a) \leq \lim_{x\to a+} f(x)$, tak \\
\moznostI{$f$ je rastuca}
\moznostIII{$f$ je neklesajuca, ale nemusi byt rastuca}
\moznostI{$f$ je klesajuca} 
\moznostIII{$f$ je nerastuca, ale nemusi byt klesajuca}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
V�etky spojit� funkcie sp��aj� podmienku zo zadania, dokonca tam nastane rovnos�.
Tak�e �iadna z predch�dzaj�cich.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak $f,g:\R\setminus\{0\}\to\R$ su funkcie s limitou $\infty$ v bode 0, pricom 
$\lim_{x\to 0} {f(x) \over g(x)}=2$, tak $\lim_{x\to 0}(f(x)-g(x))$ \\
\moznostI{$=2$}
\moznostI{$=1/2$}
\moznostIII{$=-2$}
\moznostI{$=-1/2$} 
\moznostI{$=\infty$} 
\moznostIII{$=-\infty$} 
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Zo zadania $\lim_{x\to 0} (f(x)-2g(x))=0$, potom 
$\lim_{x\to 0} (f(x)-g(x))=\lim_{x\to 0} \Bigl( (f(x)-2g(x)) + g(x) \Bigr)=\infty$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Ak $f:\R\setminus \{0\}\to\R$ nenadobuda nulove hodnoty, $\lim_{x\to 0} f(x)$ neexistuje 
a $\lim_{x\to 0} {1\over f(x)}$ existuje, tak \\
\moznostI{$\lim_{x\to 0} f(x)$ je nevlastna}
\moznostIII{$\lim_{x\to 0} |f(x)|$ je nevlastna, ale $\lim_{x\to 0} f(x)$ nemusi existovat}
\moznostII{ziadna z predchadzajucich odpovedi nie je spravna}

\begin{riesenie}
Takto sa to zachovalo. Nem��em za to, �e t� ot�zka ned�va zmysel.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Vypocitajte: $\lim_{x\to 1} { 3 \over 1 - \sqrt{x} } - { 2 \over 1 - \sqrt[3]{x} }$

% FIXME
\begin{riesenie}
neni
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Vypocitajte: $\lim_{n\to\infty} n\left(\sqrt[n]{7}-1\right)$

% FIXME
\begin{riesenie}
neni
\end{riesenie}

\end{document}
