Kapitola I. ZÁKLADNÉ POJMY 1 ÚVOD DO ŠTÚDIA Vemi zhruba možno charakterizova matematickú analýzu ako takú as matematiky, ktorej centrálnymi pojmami au funkcia, derivácia a integrál. To, o všetko s týmito pojmami súvisí a o sa skutone v matematickej analýze skúma je také rozsiahle, že na tomto mieste hovori o tom je pred- asné, zbytone a dokonca neúinné. Za zmienku však stojí poveda si nieo o spôsobe, ktorým budeme pri výklade postupova a o niektorých otázkach všeobecného rázu. Poznámky sa teda budú v mnohom dotýka štúdia matematiky vôbec. Základný význam pre vznik a tvorbu pojmov, s ktorými sa v matematickej analýze a nielen v nej pracuje je objektívne existujúca skutonos, ktorú pomocou rôznych vedných odborov vrátane matema- tiky skúmame. Metódy matematickej analýzy dávajú pri tomto skúmaní možnos zachyti najmä dynamiku skúmaných systémov a to vaka diferenciálnemu a integrálnemu prístupu a pravdaže s nimi spojených a na nich vybudovaných vyšších partií analýzy. Dôležité je uvedomi si, že aj za najabstrakt- nejšími pojmami v matematike a teda i v matematickej analýze stojí konkrétne a nezávisle od nich existujúca objektívna realita. Preo považujeme za potrebné túto skutonos zvláš zdôrazni? Je to najmä preto, že charakteristickou rtou matematickej analýzy ako i iných matematických disciplín je vemi vysoký stupe abstrakcie. V snahe lepšie pochopi spolonú podstatu javov, dochádza k takej úrovni abstrakcie a k tvoreniu pojmov, ktoré sú potrebné aj pre vlastný vnútorný rozvoj disciplíny, že pri povrchnom chápaní by mohol vzniknú dojem o ich autonómnosti, prvotnosti a nezávislosti od okolitého sveta. To, že takýto dojem je nesprávny, je úinné potvrdi bohatosou aplikácie výsledkov, ktoré sa v matematickej analýze dosahujú a tým, že tieto výsledky s podivuhodnou presnosou pomáhajú zachyti to, o sa okolo nás deje. Teraz povedzme niekoko slov k prístupu, ktorý budeme používa. Stupe rozvoja, na ktorom sa matematická analýza nachádza umožuje a výhodou používa prístup axiomatický a deduktívny. Deduktívnos spoíva v tom, že budeme tvrdenia z istých predpokladov a iných tvrdení vyvodzova. Postup, ktorým také „vyplývanie“ istého faktu z iných budeme overova, nazývame dôkazom: Pretože všetko dokáza nemôžeme, musíme sa o nieo oprie. To, o o sa budeme „opiera“ budú isté nedokázané poznatky (axiómy), Bude to akýsi neveký poet „samozrejmých“ tvrdení, pri výbere ktorých nám v znanej miere pomáha bežná skúsenos. Podrobnejší rozbor týchto otázok necháme na iné matematické resp. logické disciplíny. 2 POZNÁMKY Z LOGIKY Nevyhnutným nástrojom pri matematických úvahách sú niektoré základné prostriedky logiky. K naj- základnejším patrí pojem výroku a s ním súvisiace základné otázky. Pripomenieme si ich v rozsahu, v akom ich budeme predpoklada. V tomto odseku pôjde o dôkladné objasnenie bez nárokov na for- málnu presnos. Výroky formulujeme obyajne oznamovacími gramatickými vetami. Tu je niekoko ukážok. Príklad 1. a) Bratislava je mesto. b) Dva krát dva je pä. 5 c) Trenín je dedina, d) Kozmonaut je lovek. Výroky budú vždy také tvrdenia, (obyajne sa budú týka matematiky) o ktorých vieme rozhodnú, i sú alebo nie sú pravdivé. Tak napríklad výroky a), d) sú pravdivé a výroky b), c) nie sú pravdivé. Pravdivos alebo nepravdivos nazývame logickou hodnotou výroku. Nás na výrokoch bude zaujíma ich logická hodnota. Výroky budeme obyajne oznaova malými písmenami p, q, r… Ku každému výroku p môžeme utvori jeho negáciu alebo hovoríme tiež opaný výrok k výroku p. Oznaujeme ho p'. Výrok p' znamená takýto výrok: neplatí výrok p. Z tohto zavedenia je zrejmé, že ak p je pravdivý výrok, tak p nie je pravdivý a obrátene. alej je (p')' = p. Príklad 2. Ak p je výrok: Trenín je dedina, je p' výrok: Nie je pravda, že Trenín je dedina alebo jednoducho môžeme poveda: Trenín nie je dedina. Pozor! Ak p je výrok: dnes je piatok, tak p' je výrok: dnes nie je piatok. Výrok: dnes je štvrtok – nie je opaný k tomuto výroku. Pre dôkaz toho, že nejaký výrok p je pravdivý, budeme asto postupova tak, že vyjdeme z negácie p' toho výroku. Na základe platnosti p' dôjdeme správnymi úvahami k nejakému protireeniu (sporu). Tento predpoklad ukáže, že negácia p' nebola pravdivá, teda, že pravdivý bol výrok p. Takýto postup nazývame nepriamym dôkazom. Na rozdiel od tohto, niekedy vychádzame zo zná- mych predpokladov a používame bežné logické prostriedky, až dôjdeme k platnosti výroku p. Vtedy hovoríme o priamom dôkaze. Ak p, q sú dva výroky, znakom p ∧ q oznaujeme ich súin (konjunkcia). Súinom p ∧ q rozumieme výrok: platí výrok p aj výrok q, takže súin považujeme za pravdivý výrok, ak sú oba výroky pravdivé, a za nepravdivý, ak je aspo jeden z p, q nepravdivý. Príklad 3. Nech p je výrok: Elena má modré oi. Nech q je výrok: Elena je blondína. Fotom výrok p ∧ q môžeme vyjadri napr. slovami: Elena je modrooká blondína. Zrejme p ∧ q nebude pravdivý napr. vtedy, ak Elena je iernovlasá, aj keby mala modré oi. Nebude plati ani vtedy, ak je blondína so zelenými oami a pravdaže ani vtedy, ak je iernovlasá s iernymi oami. Sútom alebo disjunkciou výrokov p, q (oznaíme p ∨ q) nazývame výrok tvrdiaci: Platí bu výrok p alebo výrok q. Význam slova „alebo“ tu nie je vyluujúci, teda môže plati aj p aj q. K pravdivosti p ∨ q však staí platnos jedného z tých výrokov. Príklad 4. Nech p, q sú výroky z príkladu 3. Potom p ∨ q môžeme vyjadri slovami: Elena má modré oi alebo je blondína. Pozor! V bežnej nematematickej praxi by sme boli náchylní tento výrok považova za nepravdivý napríklad vtedy, keby išlo o modrookú Elenu s iernymi vlasmi. V zmysle nášho zavedenia je však v tomto prípade výrok p ∨ q pravdivý. Majme dané dva výroky p, q. Pri skúmaní ich vzahu, ako sme už povedali, nás bude zaujíma len otázka ich logickej hodnoty. Preto asto zvykáme oznaova jednoducho logickú hodnotu výroku p znakom 1, ak je pravdivý a znakom 0, ak je nepravdivý. Z tohto hadiska môžu pre logické hodnoty výrokov p, q nasta prípady zachytené v nasledujúcej tabuke. Pod výrokom je napísaná vždy jeho logická hodnota. p q p ∨ q p ∧ q 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 V súhlase s tabukou píšeme tiež 1 ∨ 1 = 1, 1 ∨ 0 = 0 ∨ 1 = 1, 0 ∨ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1, 1 ∧ 0 = 0 ∧ 1 = = 0, 0 ∧ 0 = 0. Pre dva výroky p, q sa zavádza tiež dôležitý výrok p  q. Nazývame ho implikáciou a ítame p implikuje q. Výrok p  q považujeme za pravdivý, ak nenastane prípad, aby p mal logickú hodnotu 1 6 a q logickú hodnotu 0. Zhruba povedané, ak platí p musí plati q. Ak p neplatí nestaráme sa o to, o sa deje s q a implikáciu považujeme za pravdivú. Situáciu znova popíšeme tabukou. p q p  q 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 Ak p  q je pravdivý výrok, hovoríme, že p je postaujúcou podmienkou pre q alebo že q je nevyhnutnou podmienkou pre platnos p. Súin (p  q) ∧ (q  p) oznauje p ⇔ q (ítame p je v obojstrannej implikácii s q). V takom prípade, ke p ⇔ q je pravdivý výrok, hovoríme, že p je nevyhnutnou a postaujúcou podmienkou pre q (alebo tiež obrátene). Hovoríme tiež, že p platí vtedy a len vtedy, ak platí q, alebo že p platí práve vtedy, ke platí q. Príklad 5. Nech p je výrok: Dané celé íslo a je delitené šiestimi. Nech q je výrok: Dané celé íslo a je delitené tromi. Zrejme p ⇔ q je pravdivá implikácia. Nemôže sa totiž sta, aby výrok p platil a q neplatil. Všimnime si, že pravdivos tej implikácie „neohrozuje“ ani to, ke za a dosadíme 7. Vtedy je síce logická hodnota p = 0, lenže aj logická hodnota q je 0 a implikácia typu 0 ⇔ 0 je pravdivá. (Ujasnite si ešte situáciu dosadením a = 12 resp. a = 9). V matematickej analýze i v iných partiách matematiky sa asto stretávame s výrazmi utvorenými zo symbolov, priom pri dosadení akéhokovek výroku za tie symboly dostaneme pravdivý výrok. Také výrazy nazývame logickými zákonmi alebo tautológiami. Na overovanie pravdivosti takých tautológií netreba dosadzova všetky výroky, ale dosadzova len 0 a 1 ako znaky pravdivosti resp. nepravdivosti výrokov. Príklad 6. Overíme, že (p ∧ q)' ⇔ p' ∨ q' je tautológia. Musíme za p, q dosadzova 0 a 1 a vyerpa všetky možnosti. Bude treba overi správnos nasledujúcich štyroch výrokov“ a) (1 ∧ 1)' ⇔ 1' ∨ 1' b) (0 ∧ 0)' ⇔ 0' ∨ 0' c) (1 ∧ 0)' ⇔ 1' ∨ 0' d) (0 ∧ 1)' ⇔ 0' ∨ 1' Na ilustráciu urobme a). Ak uvážime, že 1 ∧ 1 = 1, 1' = 0, 0 ∨ 0 = 0 prechádza a) do tvaru 0 ⇔ 0, o je pravdivý výrok. Tautológia, ktorú sme dokázali, je jedno z de Morganových pravidiel pre výroky. Metóda, ktorou sme to dokázali, sa volá nula-jednotková. 3 ZÁKLADNÉ POZNATKY Z TEÓRIE MNOŽÍN Pri alšom výklade v týchto skriptách budeme používa nielen symboliku teórie množín a jej jazyk ale i niektoré základné tvrdenia z tejto teórie. V tomto odseku vyložíme vemi strune najzákladnejšie poznatky z tejto oblasti. Niektoré alšie doplníme priebežne. Striktne sa zavádza pojem množiny axiomatický. V týchto skriptách nebudeme axiomatický tento pojem zavádza. Pod množinou rozumieme súhrn nejakých vecí. Množiny budeme oznaova vekými písmenami A, B, C… Veci, ktoré daná množina obsahuje nazývame jej prvkami. Ak x je prvok nejakej množiny M, píšeme x ∈ M. Ak x nepatrí do M píšeme x ∉ M. Niekedy urujeme množinu tak, že vyme- nujeme všetky jej prvky. Dá sa to robi vtedy, ak tých prvkov je konený poet. Nech napríklad znak A = {a, b, c} oznauje, že ide o množinu obsahujúcu prvky a, b, c. Podobné oznaenie zavádzame niekedy aj pri nekonených množinách. Vypíšeme konený poet prvkov s tým, že je zrejmé, ako 7 vyzerajú ostatné. Tak napríklad N = {1, 2, 3…} oznauje množinu všetkých prirodzených ísel. V týchto uebných textoch budeme vždy pre u používa znak N. Okrem toho zadávame množiny ešte tak, že 2 opíšeme ich prvky nejakou vlastnosou, ktorú majú spa. Tak napríklad {x: (x ∈ N) ∧ (x > 3)} je množina všetkých tých prirodzených ísel, ktorých štvorec je väší ako 3, teda množina {2, 3, 4…}. Vo všeobecnosti, ak (x) je vlastnos, ktorú má výrok x, oznaujeme množinu všetkých prvkov s vlastnos- ou (x) patriacich do nejakej vopred danej množiny A takto: {x: (x ∈ A) ∧ (x)} alebo (x ∈ A : (x)}. Uveme niekoko príkladov množín: Príklad 1. a) Množina všetkých párnych ísel. b) Množina všetkých obyvateov Bratislavy. c) Množina všetkých slov na tejto strane skrípt. Zavádza sa aj pojem prázdnej množiny. Je to množina, ktorá neobsahuje nijaký prvok. Oznaujeme ju Ø. Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok množiny A je prvkom mno- žiny B. V takom prípade píšeme A ⊂ B. Ak je pravdivý výrok A ⊂ B a súasne B ⊂ A, hovoríme, že množiny A, B sa rovnajú a píšeme A = B. Dokáza rovnos dvoch množín A, B teda znamená ukáza, že pre každé x je pravdivý výrok x ∈ A ⇔ x ∈ B, V zmysle uvedených definícií vždy platí Ø ⊂ A; nech A je akákovek množina. Platí tiež A ⊂ A, A = A pre akúkovek množinu A. V alších úvahách asto používame pojmy zjednotenia dvoch množín a prienik dvoch množín A, B. Zjednotením dvoch množín A, B nazývame množinu C, (oznaenie C = A ∪ B), ktorá obsahuje práve tie prvky x, ktoré patria aspo do jednej z množín A, B. Príklad 2. Ak A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 3, 5}, tak A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}. Prienikom dvoch množín A, B nazývame takú množinu C, (oznaenie C = A ∩ B), ktorá obsahuje tie a len tie prvky, ktoré patria do A a súasne do B. Príklad 3. Ak A, B sú také ako v príklade 2, tak A ∩ B = {1}. Môže sa sta, že A ∩ B = Ø. V takom prípade hovoríme, že množiny A, B sú disjunktné. Rozdielom dvoch množín A, B nazývame množinu C, (oznaenie C = A − B), ktorá obsahuje tie a len tie prvky, ktoré patria do A a nepatria do B. Príklad 4. Ak A, B sú také ako v príklade 2, tak A − B = {2, 4, 8}. Ak uvažujeme len množiny, ktoré sú podmnožinami pevne danej množiny X, definujeme pre A ⊂ X komplement A* množiny A vzhadom na X takto: A* = X − A. Teda x ∈ A* vtedy a len vtedy, ak x ∉ A. Pre poítanie s množinami (algebra množín) platia jednoduché pravidlá. Niektoré z nich uvádzame v cvieniach. Na ilustráciu tu dokážeme jedno z de Morganových pravidiel pre množiny. Príklad 5. Ukážeme, že pre ubovoné dve množiny A, B, ktoré sú podmnožinami pevne danej množiny X platí: (A ∩ B)* = A* ∪ B* Máme dokáza rovnos dvoch množín, teda to, že ak prvok x je z množiny na avej strane, je aj z množiny na pravej strane a obrátene. To znamená, že máme dokáza pre každé x platnos výroku: x ∈ (A ∩ B)* ⇔ x ∈ (A* ∪ B*) avú stranu môžeme napísa poda definície komplementu v tvare x ∉ (A ∩ B). To je to isté ako výrok (x ∈ (A ∩ B))'. Výraz v poslednej zátvorke je poda definície prieniku ((x ∈ A) ∩ (x ∈ B))', teda avá strana je tvaru ((x ∈ A) ∩ (x ∈ B))' 8 Ke na u použijeme de Morganove pravidlo pre výroky (pozri príklad 6 z lánku 2), dostaneme (x ∈ A)' ∪ (x ∈ B)' To je to isté ako (x ∉ A) ∪ (x ∉ B) a to je to isté ako (x ∈ A*) ∪ (x ∈ B*), to znamená x ∈ (A* ∪ B*). Dokázali sme teda, že x ∈ (A ∩ B)* ⇔ x ∈ (A* ∪ B*), teda (A ∩ B)* = A* ∪ B*. Úvaha, ktorú sme tu robili podrobne, sa po získaní istého návyku robí o nieo rýchlejšie. Predve- dieme to: x ∈ (A ∩ B)* ⇔ (x ∈ (A ∩ B))' ⇔ ((x ∈ A) ∩ (x ∈ B))' ⇔ (x ∈ A)' ∪ (x ∈ B)' ⇔ x ∈ (A* ∪ B*) Pri uvedenom postupe sme niektoré zrejmé kroky vynechali. Na záver úvah o množinách pripomeme ešte, že sa budeme streta aj s takými množinami, ktorých prvky sú množiny. Takéto množiny nazývame systémami množín. Príklad 6. Množina {{2, 3}, {3, 4, 5}, {7,9}} je systémom množín. Množiny {2, 3}, {3, 4, 5}, {7,9} sú jej prvkami. Cvienie 1. Overte nula-jednotkovou metódou, ktoré z uvedených výrazov sú, a ktoré nie sú tautológiami. a) p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) (p  q) ⇔ (q  p) c) (p  q) ⇔ (q'  p') 2. Uvedieme teraz niektoré základné tautológie výrokového potu. Overte si ich platnos nula-jed- notkovou metódou. a) (p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) b) [(p ∨ q) ∨ r] ⇔ [p ∨ (q ∨ r)] c) (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) d) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r] e) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] f) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] g) (p ∨ p) ⇔ p h) (p ∧ p) ⇔ p i) (p ∧ 0) ⇔ 0 j) (p ∧ 1) ⇔ p k) (p ∨ 0) ⇔ p l) (p ∨ 1) ⇔ 1 3. Dokážte toto de Morganovo pravidlo pre výroky: (p ∨ q)' ⇔ (p' ∧ q') 4. Dokážte, Že pre poítanie s množinami platia analogické pravidlá ako sú uvedené v cviení 2a) až 2h) pre výroky, ak zameníme znak ∨ znakom zjednotenia, znak ∧ znakom prieniku a znak ⇔ znakom rovnosti. Tak napríklad pravidlo e) pre množiny bude tvaru [A ∩ (B ∪ C] = [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] 5. Dokážte, že aj pravidlá i), j), k), l) platia pre poítanie s množinami, ktoré sú podmnožinami pevne danej množiny X. V týchto pravidlách treba namiesto 0 da Ø a namiesto 1 množinu X. 6. Dokážte, že pre množiny A, B platí A ∩ B = A − (A − B) 7. Dokážte toto de Morganovo pravidlo pre množiny: (A ∪ B)* = A* ∩ B* 9 4 USPORIADANÉ DVOJICE A KARTEZIÁNSKY SÚET Zásadný význam pre úvahy v matematike má pojem usporiadanej dvojice. Uvidíme to v alších astiach skrípt. Na ilustráciu uvedieme zatia príklad mimo rámca matematiky, ktorý dáva tuši, že zavedenie takého pojmu je úelné. Príklad 1. Dvaja priatelia sa dohodnú, že na oznámenie svojho stretnutia v danom mesiaci nebudú používa ni iné ako dva íselné údaje. Jeden z nich bude oznaova de a druhý hodinu stretnutia. Miesto stretnutia je dohodnuté. Je zrejmé, že ak takáto dohoda nemá vies k zmätku, musí by jasné, ktorý údaj znamená de a ktorý hodinu. Teda dvojprvková íselná množina napr. {8, 13} na oznaenie takého stretnutia nestaí, pretože by to mohlo znai stretnutie v ôsmom dni mesiaca o trinástej hodine alebo v trinástom dni o ôsmej hodine. Je treba dohodnú sa, ktorý údaj bude prvý a ktorý druhý. Po takejto dohode bude už situácia jasná. Bude tiež jasné, že ak sa na prvom mieste uvedie 8 a na druhom 13 bude to nieo iné ako ke sa to urobí obrátene. Nepôjde teda iste o dvojprvkovú množinu ale o ne- jaký iný pojem. Usporiadanú dvojicu z prvkov a, b budeme oznaova [a, b]. Má tieto dôležité vlastnosti: a) Je prvkami a, b jednoznane urená. b) Uruje, ktorý z prvkov je prvý (v našom oznaení je to a) a ktorý druhý. c) Pre dve usporiadané dvojice [a, b], [c, d] je definovaná rovnos [a, b] = [c, d] tak, že nastane vtedy a len vtedy ak a = c, b = d. Poznamenajme, že usporiadaná dvojica [a, b] by sa dala definova úplne formálne ako množina, a síce tak, že [a, b] = {{a}, {a, b}}. Pre naše úvahy budú však stai vlastnosti a), b), c). Formálna definícia bude nepodstatná. Ak A, B sú dve množiny, môžeme utvori množinu všetkých usporiadaných dvojíc [a, b] tak, že a ∈ A, b ∈ B. Takúto množinu nazývame karteziánskym súinom množín A, B a oznaujeme A × B. Príklad 2. Nech A = {a, b, c, d, e, f, g, h}, B = {1, 2, 3,…, 8}. Karteziánsky súin A × B týchto množín má 64 prvkov a vieme, že každý z týchto prvkov môže oznaova jedno z políok na šachov- nici. Príklad 3. Nech A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}. Ukážeme, že A × B ≠ B × A. Skutone, napr. usporia- daná dvojica [1, 3] patrí do B × A, pretože 1 ∈ B, 3 ∈ A, ale takáto dvojica nemôže patri do A × B lebo 3 ∉ B. asto sa pracuje s podmnožinami karteziánskeho súinu A × B. Takéto podmnožiny sa nazývajú reláciami medzi A, B. Podmnožina karteziánskeho súinu A × A sa nazýva reláciou na A. Príklad 4. Nech A = {l, 2, 3}. Množina {[1, 2], [2, 3], [3, 1]} je reláciou na A. Relácia S na A sa nazýva reflexívna, ak [a, a] ∈ S pre každé a, a ∈ A; nazýva sa symetrickou, ak pre každé a, b ∈ A platí [a, b] ∈ S ⇔ [b, a] ∈ S. Nazýva sa tranzitívna, ak pre a, b, c ∈ A také, že [a, b] ∈ S, [b, c] ∈ S platí [a, c] ∈ S. Reflexívna, symetrická a tranzitívna relácia na A sa nazýva ekvivalenciou. Príklad 5. Pre ubovonú množinu A nech S ⊂ A × A je taká podmnožina, ktorá obsahuje všetky dvojice [a, a], kde a ∈ A a len tie dvojice. ahko sa ukáže, že S je ekvivalencia na A. Cvienie 1. Nech A ≠ Ø, B ≠ Ø. Ukážte, že A × B = B × A vtedy a len vtedy, ak A = B. 2. Ukážte, že A × (B ∪ C) » (A × B) ∪ (A × C). 3. Dokážte, že (A × B) ∩ (C × D) ∩ (A ∩ C) × (B ∩ D). 4. Nech C = {[1, 1], [2, 3], [3, 2]}. Existujú množiny A, B tak, že C = A × B? 5. Nech M je nejaká množina udí. Utvorte podmnožinu R ⊂ M × M takto: Do R budú patri také dvojice [a, b], kde a, b majú rovnakú výšku. Je R ekvivalencia? 10 5 VÝROKOVÉ FUNKCIE A KVANTIFIKÁTORY Zmienili sme sa už o tom, ako pracujeme s výrokmi. asto sa však dostaneme do situácie, v ktorej je treba pracova s „výrazmi“, ktoré sa výrokom podobajú, ale nie sú to výroky v tom zmysle ako sme výroky uviedli. Priznajme sa, že napríklad výraz x ∈ A, s ktorým sme sa stretli, je výrok len vtedy, ak za x dosadíme nejaký prvok. Uvedieme alšie príklady. Príklad 1. a) x > 5 b) x < y Výraz v a) nie je výrok, pretože o jeho pravdivosti resp. nepravdivosti nevieme ni poveda, pokia nevieme, o znamená x. Ak sa však dohodneme, že za x budeme dosadzova napríklad prirodzené ísla, potom po dosadení konkrétneho prirodzeného ísla dostaneme výrok pravdivý alebo nepravdivý. Podobná je situácia v b). Tu dostaneme výrok pravdivý resp. nepravdivý, ak napríklad za [x, y] budeme dosadzova usporiadané dvojice prirodzených ísel. Pri dosadení usporiadanej dvojice [1, 2] (to znamená x = 1, y = 2) dostaneme v b) pravdivý výrok. Pri dosadení [3, 1] dostaneme nepravdivý výrok. Dohodneme sa, že výrazy, ktoré budú obsahova znaky x, y, z a pod. a z ktorých po dosadení neja- kých prvkov za tie znaky dostaneme výrok, budeme nazýva výrokovými funkciami. Poda toho, koko znakov (hovoríme tiež premenných) bude v takej funkcii vystupova, budeme hovori o výrokovej funkcii jednej, dvoch, prípadne viacerých premenných. Ostame na chvíu pri výrokovej funkcii jednej premennej. Oznaíme ju ϕ(x). (ϕ(x) môže by napr. x > 5, tak ako v príklade 1a). Ak do ϕ(x) dosadzujeme prvky z nejakej množiny A, tak množina tých x, pre ktoré ϕ(x) je pravdivý výrok, je podmnožinou množiny A. Oznaujeme ju {x : (x ∈ A) ∧ ϕ(x)} alebo len {x : ϕ(x)}, ak vieme o akú množinu A ide. Príklad 2. Nech A = N a nech ϕ(x) je výroková funkcia x < 3. Potom {x : ϕ(x)} = {1, 2}. Ak je daná výroková funkcia ϕ(x), môžeme utvori takýto výrok: „Pre každé x platí ϕ(x)“ Tento výrok oznaujeme krátko takto: ∀ϕ(x) x Znak ∀ nazývame veký alebo všeobecný kvantifikátor. asto tiež pre danú výrokovú funkciu ϕ(x) tvoríme výrok: „Existuje x tak, že platí ϕ(x)“. Tento výrok zasa oznaujeme takto: ∃ϕ(x) x Znak ∃ nazývame malý alebo existenný kvantifikátor. Niekedy sa používa tiež znak ∃!ϕ(x) , ktorý znamená tvrdenie, že existuje práve jedno x, pre ktoré x platí ϕ(x). Niekedy sa pri tvorení uvedených výrokov obmedzujeme len na také prvky, ktoré patria do nejakej množiny A. Vtedy píšeme ∀ ϕ(x) resp. ∃ ϕ(x) . Sú to vlastne struné zápisy týchto výrokov: x∈A x∈A ∀[(x∈A)ϕ(x)] resp. ∃[(x∈A)ϕ(x)] x x 11 Príklad 3. Nech ϕ(x) je výroková funkcia z príkladu 1a, teda výraz x > 5. Za množinu A zoberme množinu A = {(4, 5, 6}. Potom výrok ∀ ϕ(x) je nepravdivý, pretože 4 ∈ A a neplatí 4 > 5. Výrok x∈A ∃ ϕ(x) je v tomto prípade pravdivý výrok, pretože staí za x zobra 6. x∈A V prípade výrokovej funkcie dvoch, prípadne viacerých premenných sa môže sta, že použijeme veký resp. malý kvantifikátor len na niektorú z premenných. Príklad 4. Majme napríklad výrokovú funkciu z príkladu 1b, t. j. funkciu ϕ(x, y), ktorá je tvaru x < y. Môžeme utvori výraz ∀ϕ(x, y), ktorý ítame: x Pre každé x platí ϕ(x, y), teda v našom príklade, pre každé x je x menšie ako y. Pozor! Tento výraz nie je ešte výrok, lebo nevieme, aké je y. Je to stále ešte výroková funkcia, tentokrát však už len výroková funkcia jednej premennej. Na takýto výraz môžeme opä aplikova malý resp. veký kvantifikátor. Mohli by sme teda utvori napr. výrok ∃∀ϕ(x, y) y x Je to výrok: Existuje y tak, že pre každé x je ϕ(x, y) pravdivý výrok, teda v našom prípade výrok: Existuje y tak, že pre každé x je x < y. Nevyerpali sme tu zaleka možnosti ako môžeme narába s kvantifikátormi. Nemienime tu ani robi podrobný výklad tohto druhu. Pre naše úely kvantifikátory umožnia jasne formulova niektoré tvrdenia resp. poslúžia pre objasnenie definícií niektorých pojmov. Aj ke nie sú pre pochopenie tu vysvetovaných partií nevyhnutné, na niektorých miestach ich použijeme. 12