\documentclass{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsfonts} % provides: maticke N
\usepackage{verbatim}
\usepackage{amssymb} % kvoli \square
\usepackage{color}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{epsfig}

% Ma pisat aj riesenia? Ak nie, tento riadok vykomentuj
\def\pisriesenia{1}

\def\then{\Rightarrow}
\def\eps{\varepsilon}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}

\definecolor{lgray}{rgb}{0.90, 0.90, 0.90}
\newlength{\myboxwidth}      \myboxwidth=\textwidth       \advance\myboxwidth -13pt

\newenvironment{graybox}%
{%
 \vskip-1.8\baselineskip\noindent\begin{center}%
 \begin{Sbox}\begin{minipage}{\myboxwidth}%
}%
{%
 \end{minipage}\end{Sbox}\fcolorbox{black}{lgray}{\TheSbox}\end{center}%
% \vskip\baselineskip%
}
   
% makra: ulohy, moznostI
\def\stvorcek{$\square\ $} 
\def\moznostI#1{\stvorcek \hbox to 0.3\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostII#1{\stvorcek \hbox to 0.6\textwidth{#1\hfill}}
\def\moznostIII#1{\stvorcek #1\\}
\newcounter{cntuloha}
\def\uloha{\noindent\stepcounter{cntuloha}{\bf \arabic{cntuloha}. }}

% makra: vypisujeme aj riesenia?
\ifx\pisriesenia\undefined
 \let\riesenie=\comment 
 \let\endriesenie=\endcomment
\else
 \newenvironment{riesenie}{%
 \begin{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
 {\sl Riešenie.}\\}{\end{minipage}\end{center}}
\fi


\begin{document}

\begin{graybox}
\medskip
\centerline{\Large\sc MatAlýza -- testíky z derivácií}
\smallskip
\centerline{\small \copyright MišoF. 1999--2003}
\vspace{0.5cm}
\end{graybox}

\centerline{\bf\large Štandardný disclaimer}

\medskip

Tieto papiere {\bf NEMAJÚ} slúžiť ako náhrada za riešenie príkladov. Príklady si najskôr skúste 
preriešiť sami, ak niečo sami vymyslíte, omnoho ľahšie si to zapamätáte. Všetky výsledky sú bez
akejkoľvek záruky, som len človek a občas sa mýlim. Ľubovoľné prejavy uznania a vďaky sú vítané.

Tento dokument sa naďalej (aj keď slimačím tempom, ale predsa) vyvíja. Pokiaľ v ňom nájdete chyby, 
budem vám vďačný, ak mi ich pošlete. Pokiaľ by ste doň chceli dopísať veľa nových vecí, zdrojáky
sú vaše, len poprosím nechať v nich do budúcna moje meno. Pokiaľ je to možné, do rôznych online
archívov študijných dokumentov neumiestňujte kópiu tohto dokumentu, ale linku naň, aby sa príliš
nešírili rôzne staré verzie. 

Táto verzia vznikla dňa {\bf\today{}} (a je explicitne novšia od všetkých verzií, ktoré nemajú uvedený 
dátum).

\bigskip


% =============================================

\uloha
Derivácia fcie $\sgn^3 x$ v $0$ je: \\
\moznostI{vlastná}
\moznostI{nevlastná}
\moznostI{neexistuje}

\begin{riesenie}
Je:
$$f'_+(0)=\lim_{x\to 0+} \left({\sgn^3 x-\sgn^3 0\over x-0}\right) =
  \lim_{x\to 0+} {1-0\over x}=\infty$$
$$f'_-(0)=\lim_{x\to 0-} \left({\sgn^3 x-\sgn^3 0\over x-0}\right) =
  \lim_{x\to 0-} {-1-0\over x}=\infty$$
teda $f'_-(0)=f'_+(0)$, 
preto existuje $f'(0)$ a je $f'(0)=f'_-(0)=f'_+(0)=\infty$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Má fcia 
$f(x) = 
  \left\{ 
    {x^{1/2} \leftarrow x\not\in \Q \atop x^{3/2} \leftarrow x\in \Q} 
  \right.$
v $0$ vlastnú alebo nevlastnú deriváciu? \\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Nie, lebo príslušná limita neexistuje. Dôkaz: 
pre $x\in \Q_+$ je 
$\lim_{x\to 0} ({f(x)-f(0)\over x-0})=
 \lim_{x\to 0} {x^{3/2}\over x}=\lim_{x\to 0} {\sqrt x} = 0$
a pre $x\in \R_+\setminus\Q$ je 
$\lim_{x\to 0} ({f(x)-f(0)\over x-0})=
 \lim_{x\to 0} {x^{1/2}\over x}=\lim_{x\to 0} {1\over {\sqrt x}} = \infty$.
Keby hľadaná limita existovala, obe limity 
pre tieto zúženia by sa jej rovnali.
Keďže sú ale rôzne, limita neex., q.e.d.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:(0,1)\to\R$ je neohraničená diferencovateľná fcia. 
Je potom $f'$ neohraničená?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Zjavne sú len dve možnosti, ako môže vyzerať f, 
keď je neohraničená, diferencovateľná a má def. obor $(0,1)$ 
-- buď $\lim_{x\to 0} f(x)=\infty$ a $\lim_{x\to 1} f(x)=-\infty$, 
alebo naopak. BUNV nech je to takto. Ukážeme, že $f'$
nie je zhora ohraničená, zdola sa ukáže rovnako. 
 
Sporom. Nech je $h$ horné ohraničenie $f'$, zoberme ľubovoľné $x\in(0,1)$,
nech $f(x)=y$. Určite existuje dosť malé $x'$ také, že $f(x')>y+h$. 
Ale podľa Lagrangeovej vety o strednej hodnote existuje $c\in(x',x)$
také, že $f'(c)={f(x')-f(x)\over x'-x}>{h\over x'-x}>h$, čo je spor.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Nech $f:\R\to\R$ je neohraničená diferencovateľná fcia taká, 
že $\forall x\in\R; f''(x)>0$ a $f'(0)=f(0)=1$. 
Potom $\forall x\not =0; f(x)>x+1$" je:\\
\moznostI{pravdivé}
\moznostI{nepravdivé}

\begin{riesenie}
Z druhej derivácie vidíme, že $f$ je rýdzo konvexná 
a podmienka $f(x)>x+1$ je ekvivalentná s tým, 
že graf $f$ leží celý nad dotyčnicou v bode 0. 
Táto skutočnosť ale z rýdzej konvexnosti a diferencovateľnosti 
$f$ vyplýva pre všetky dotyčnice, teda aj
pre dotyčnicu v $0$, preto tvrdenie platí.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 3x diferencovateľná fcia taká, že 
$f'(0)=f''(0)=f^{(3)}(0)=0$ a $\forall x; f^{(4)}(x)<0$. Potom: \\
\moznostI{$f'$ má v $0$ lokálne maximum}
\moznostIII{$f'$ má v $0$ lokálne minimum}
\moznostI{$f'$ rastie}
\moznostIII{$f'$ klesá}
\moznostI{$f'$ je rýdzokonvexná}
\moznostIII{$f'$ je rýdzokonkávna}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
$\forall x; f^{(4)}(x)<0 \then f^{(3)}(x)$ klesá 
$\then \sgn(x)=\sgn(f^{(3)}(x)) \then$ 
na $(-\infty,0)\ f''$ rastie, na $(0,\infty)$ klesá $\then$
$\forall x\not =0; f''(x)<0 \then f'$ klesá.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech 2x diferencovateľná fcia $f:\R\to\R$ má lokálne maximum v bode $0$, 
pričom $\forall x\in\R; f''(x)+3f'(x)+2f(x)=0$ Potom :\\
\moznostI{$f(0)\geq 0$}
\moznostIII{$f(0)\leq 0$}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Keďže je tam maximum, je $f'(x)=0$, $f''(x)\leq 0$, preto $f(x)\geq 0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nájdite $127.$ deriváciu funkcie ${x^2+3x-4 \over 2x+1}$ a jej hodnotu v $0$.

\begin{riesenie}
Použijeme Leibnitzov vzorec, 
treba len tri sčítance tej sumy a vedieť vzorec pre deriváciu podielu.
S tým si už ľahko odvodíme vzorce postupne 
$\left( {1\over 2x+1} \right) ^{(n)} = 2^n.n!\cdot ({1\over 2x+1})^{n+1}$ 
(uhádneme z prvých $3$ derivácii a dokážeme indukciou)
a následne 
$f^{(100)} = {2^{99}.98! \over (2x+1)^{101}}\cdot (20200x^2 + 60196x - 78902)$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nájdite všetky lokálne extrémy fcie $(x+1)^{10}e^{-x}$.

\begin{riesenie}
Lokálny extrém môže byť len v bodoch, 
kde je prvá derivácia nulová a kde neexistuje.
Prvá derivácia fcie zo zadania je $e^{-x}(x+1)^9(9-x)$, 
tá je všade definovaná a nulová je pre $x=-1$ a $x=9$.
Čo je kde? Spravíme druhú deriváciu, tá je 
$e^{-x}(x+1)^8(71-18x+x^2)$, 
pre $x=-1$ je teda kladná, pre $x=9$ záporná.
Preto má daná fcia v $1$ lok. minimum a v $9$ lok. maximum.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Do voľného priestoru nakreslite graf fcie $x^2+x-1 \over x^2-2x+1$.

\begin{riesenie}
Treba spraviť prvé dve derivácie, z prvej vidíme rastúcosť, 
z druhej konvexnosť, a navyše zrátať body, v ktorých pretína osi.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nájdite $27.$ deriváciu funkcie $x^2 \ln x$ a jej hodnotu v $1$.

\begin{riesenie}
To isté ako o pár uloh skôr, len (podľa môjho skromného názoru) ľahšie.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nájdite vzorec pre $(f^{-1})''$.

\begin{riesenie}
Postupnými úpravami dostávame:
$$(f^{-1})''=
  \left( {1\over f'(f^{-1}(x))}\right) '= 
  {(f'(f^{-1}(x)))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2} = $$
$$={f''(f^{-1}(x)).(f^{-1}(x))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2} = 
  {f''(f^{-1}(x))\over (f'(f^{-1}(x)))^3}$$
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Má fcia 
$f(x) = 
  \left\{ 
    {x^{5/3} \leftarrow x\not\in\Q \atop x^{7/3} \leftarrow x\in\Q} 
  \right.$
v $0$ vlastnú alebo nevlastnú deriváciu? \\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Podobne ako už bolo, s tým rozdielom, 
že v tomto prípade príslušná limita existuje, 
je rovná $0$, teda $f$ má vlastnú deriváciu a odpoveď znie áno.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\left[a,b\right]\to\R$ je diferencovateľná fcia. 
Existuje $\max_{x \in \left[a,b\right]} f(x)$?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Toto je priamo veta z prednášky. Existuje.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia, 
nech $f'_+(0)=\infty$, $f'_-(0)=-\infty$. Má $f$ v $0$ lokálne maximum?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Ktorú odpoveď dať???\\
Keď $f'_+(0)=\infty$ a $f'_-(0)=-\infty$, 
znamená to, že neexistuje $f'(0)$, 
čo je ale spor s tým, že $f$ je diferenc., 
preto taká fcia vôbec neexistuje.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g:\R\to\R$ sú dif. konkávne fcie, 
$f$ je klesajúca, $g$ je rastúca, potom $g\circ f$, t.j. $g(f(x))$ je:\\
\moznostI{klesajúca konkávna}
\moznostIII{klesajúca konvexná}
\moznostI{rastúca konkávna}
\moznostIII{rastúca konvexná}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Zo zadania máme $\forall x,y\in\R,\ x<y: $\\
(v1) $f(x)>f(y)$ \\
(v2) $g(x)<g(y)$ \\
(v3) $0\geq f'(x)\geq f'(y)$ (z klesania a z konkávnosti)\\
(v4) $g'(x)\geq g'(y)\geq 0$ (z konkávnosti a rastu)\\
odtiaľ dostávame: 

$$x<y \then f(x)>f(y) \then g(f(x))>g(f(y))$$

Teda $g(f(x))$ je klesajúca, chceme ešte zistiť, 
či je $g\circ f$ konvexná, prípadne konkávna. 
To je ekvivalentné s tým, či je jej derivácia neklesajúca, resp. nerastúca. 

Je $(g(f(x)))'=g'(f(x)).f'(x)$. 
Majme $x<y$. Z (v1) $\then f(x)>f(y)$ 
a následne z (v4) $\then g'(f(y))\geq g'(f(x))\geq 0$.
Z (v3) máme $0\geq f'(x)\geq f'(y)$. \\
Nuž a dokopy to dáva:

$$g'(f(y))\geq g'(f(x)) \land f'(y)\leq 0 \then  
  g'(f(y)).f'(y) \leq g'(f(x)).f'(y)$$
$$f'(y)\leq f'(x) \land g'(f(x))\geq 0 \then 
  g'(f(x)).f'(y)\leq g'(f(x)).f'(x)$$
no a z oboch dokopy dostávame:\\
$x<y \then g'(f(y)).f'(y)\leq g'(f(x)).f'(x) \then $ 
derivácia je nerastúca, teda $g\circ f$ je konkávna.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je rýdzokonvexná 2x dif. fcia, 
nech $f'(0)=f''(0)=0$. Potom $f$: \\
\moznostI{$f'$ má v $0$ lokálne maximum}
\moznostIII{$f'$ má v $0$ lokálne minimum}
\moznostI{$f'$ rastie}
\moznostIII{$f'$ klesá}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Z toho, že je rýdzokonvexná, vyplýva, že 
$\forall x\in\R; f''(x)\geq 0$ a zároveň že $f'$ je rastúca. 
Keďže $f'(0)=0$, je pre $x>0\ f'(x)>0$ a pre $x<0\ f'(x)<0$. 
Preto $f$ na $\left( -\infty,0\right>$ klesá, 
na $\left< 0,\infty\right)$ rastie a teda má
globálne minimum, či chce, či nechce.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Ak fcie $f,g:[0,\infty)\to\R$ sú diferenc. na $(0,\infty)$, 
pričom $f(0)>g(0)$ a $\forall x\in (0,\infty); f'(x)>g'(x)$, 
tak $\forall x\in (0,\infty); f(x)>g(x)$." je:\\
\moznostI{pravdivé}
\moznostI{nepravdivé}

\begin{riesenie}
Protipríklad:
$$f(x)=2x, 
 g(x)=\left\{ 
  {-100 \hfill \leftarrow x=0 \atop x+10 \leftarrow x\not =0} 
 \right.$$
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje prostá dif. fcia $f:\R\to\R$ taká, že jej inverzná fcia 
nie je diferencovateľná?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Ako vraví veta, ľubovoľná, ktorá má v nejakom bode deriváciu $=0$, 
triviálny príklad (už to vyzerá ako Kubáčkove skriptá :) je $x^3$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 2x spojite dif. fcia, 
pričom $f'(0)=0$ a $f''$ má ostré lokálne maximum v $0$. Potom:\\
\moznostIII{$f$ má ostrý lokálny extrém v bode $0$}
\moznostIII{$f'$ ma ostrý lok. extrém v bode $0$}
\moznostIII{$f$ je rýdzomonotónna na niektorom okolí bodu $0$}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
$f''$ je podľa zadania spojitá, t.j. existuje také $\eps$, 
že na $(-\eps,\eps)$ má $f''$ všade rovnaké znamienko. 
To ale znamená, že $f'$ na tomto intervale buď rastie, alebo klesá.
V každom prípade ale z $f'(0)=0$ vieme, že 
na jednej strane od $0$ je kladná a na druhej záporná. 
Na jednej strane teda $f$ rastie, ne druhej klesá, 
preto tam má lokálny extrém.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. a nech $\forall x\in\R; f(x)f'(x)<0$, potom:\\
\moznostIII{$f$ má v $+\infty$ vlastnú limitu}
\moznostIII{$f$ má v $+\infty$ nevlastnú limitu}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Ak pre nejaké $x$ je $f(x)>0$, je $\forall x; f(x)>0$, 
lebo keby pre nejaké nebolo, z vety o medzihodnote vieme, 
že existuje $c$ také, že $f(c)=0$, preň ale potom nie je $f(c).f'(c)<0$.
Analogicky pre záporné. Preto je $f$ buď kladná a klesajúca 
alebo záporná a rastúca. A keďže nemôže prekročiť nulu 
a ujsť do nekonečna, vidíme, že limita je vlastná. 
(tomu sa hovorí formálny dôkaz :)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Nech je $f:\R\to\R$ klesajúca a konkávna. 
Potom $f$ má v $+\infty$ limitu $-\infty$." je:\\
\moznostI{pravdivé}
\moznostI{nepravdivé}

\begin{riesenie}
Keďže je konkávna, leží celá pod alebo na svojej ľubovoľnej dotyčnici, 
keďže je klesajúca, existuje bod, v ktorom má zápornú deriváciu. 
Keď zoberieme funkciu $g$ určenú touto priamkou, 
tá má limitu $-\infty$ a je $\forall x; f(x)\leq g(x)$, vsio jasno.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech pre $f,g,h:\R\to\R$ platí $\forall x\in\R; f(x)\leq g(x) \leq h(x)$
a $f'(0)=h'(0)=1$. Potom:\\
\moznostIII{$g$ nemá v $0$ nevlastnú deriváciu }
\moznostIII{$g$ je diferenc. v $0$ a je $g'(0)=1$ }
\moznostIII{$g$ je rastúca v $0$, ale nemusí byť diferenc. v $0$ }
\moznostIII{$g$ jr spojitá v $0$, ale nemusí byť rastúca ani diferenc. }
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Všetko sú blbosti. Nech $f(x)=x+1, h(x)=x-1$, 
$g$ je niekde v tom páse a môže si robiť čo len sa jej zachce. 
Láskavý čitateľ (opäť inšpirácia skriptami :) 
si ľahko nájde kontrapríklady.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech má spojitá $f:\R\to\R$ v $0$ globálne maximum. 
Musí potom existovať také $\eps$, 
že $f$ je rastúca na $(-\eps ,0)$ a klesajúca na $(0,\eps )$?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Tentokrát niečo zo skrípt. Zoberme fciu
$$f(x) = 
  \left\{ 
    {-x^2\left(2+\sin {1\over x}\right) \leftarrow x\not =0 
      \atop 
    0 \hfill \leftarrow x=0 } \right.$$
Tá je diferencovateľná, lebo
$$f'(x) = 
  \left\{
      {\cos{1\over x}-2x\left( 2+\sin {1\over x}\right) 
      \hfill \leftarrow x\not =0 
    \atop 
      \lim_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x}=
      \lim_{x\to 0}\left( x.\left( 2+\sin{1\over x}\right) \right)=0 
      \leftarrow x=0 } 
  \right.$$
a teda $f$ je spojitá a ľahko sa presvedčíme, 
že také $\eps$ nenájdeme -- ľubovoľne blízko k $0$ vieme nájsť bod, 
v ktorom je derivácia kladná aj v ktorom je záporná. 
(Napríklad v $x={1\over 2n\pi}$ je kladná, 
v $x={1\over (2n+1)\pi}$ záporná.)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia taká, že $\forall x\in\R; (f'(x))^2<1$. 
Existuje potom $c\in\R$ také, že $\forall x\in\R;|f(x)|<|x|+c$?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Položme $c=|f(0)|+1$. Zoberme funkciu $x+c$ na $<0,\infty$, 
ukážme, že $f$ leží pod ňou, ostatné tri kvadranty analogicky. 
Označme $g(x)=f(x)-x-c$, z $f'(x)<1, (x+c)'=1 \then g'(x)<0$, 
teda $g$ je klesajúca, a keďže je záporná v $0$, je záporná všade,
q.e.d.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech dif. fcia $f:\R\to\R$ má v každom bode nenulovú deriváciu. 
Musí byť potom $f$ rýdzomonotónna?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Keď nie je rýdzomonotónna, existujú $a,b, a\not =b$ 
také, že $f(a)=f(b)$, z Rolleho vety 
existuje $c\in (a,b); f(c)=0$. Takže musí.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ nemá v $0$ limitu sprava ani zľava, 
pričom $\forall \eps \in (0,1); f(-\eps)+1<f(0)<f(\eps)-1$. 
Potom $f'(0)$: \\
\moznostI{neexistuje}
\moznostI{je nevlastná}
\moznostIII{je vlastná}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Nevlastná, konkrétne $\infty$, ako pre $\sgn x$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 3x dif. fcia, pričom 
$f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(3)}(0)=-1$. Potom:\\
\moznostI{$f$ má v $0$ lok. maximum }
\moznostIII{$f$ má v $0$ lok. minimum }
\moznostI{$f$ je v $0$ rastúca }
\moznostIII{$f$ je v $0$ klesajúca }
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
$f''$ je v $0$ klesajúca, preto je napravo od $0$ záporná, 
naľavo kladná, preto $f'$ napravo klesá, naľavo rastie 
a keďže v $0$ je $0$, je mimo nuly záporná, preto $f$ klesá.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je dif. fcia, 
nech spojitá fcia $g:\R\to\R$ nie je diferencovateľná. 
Môže byť potom fcia $f+g$ diferencovateľná?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Keby v bode, kde $g$ nie je diferencovateľná, 
bola diferencovateľná $f+g$, 
je tam diferencovateľná aj $(f+g) + (-f) = g$, spor.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Dirichletova funkcia 
$\chi(x)=\left\{ 
  {0 \leftarrow x\not\in\Q \atop 1 \leftarrow x\in\Q} 
\right.$ 
má nevlastnú deriváciu v aspoň jednom bode $x\in\R$." je:\\
\moznostI{pravdivé}
\moznostI{nepravdivé}

\begin{riesenie}
Nepravdivé, Dirichletova fcia nemá nikde deriváciu.\\
Dôkaz: ukážeme, že neexistuje $\lim_{y\to x+} \chi(y)$ pre žiadne $x$. 
Ak totiž zoberieme zúženia 
na $Q_x = \{ y; y\in\Q\land y>x \}$ 
a na $I_x = \{ y; y\not\in\Q\land y>x \}$, 
pre $x\in\Q$ nám vyjde $0$, resp. $\infty$ (podľa toho, či $x\in\Q$),
pre $x\not\in\Q$ vyjde $-\infty$, resp. $0$, čiže rôzne hodnoty. 
Keby tá limita existovala, limity pre obe zúženia by sa jej rovnali.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\left[a,b\right]\to\R$ je dif. fcia, potom $f$ je ohraničená.\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}
\moznostI{nemožno rozhodnúť}

\begin{riesenie}
Priamo z prednášky. Platí.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f,g:\R\to\R$ sú dif. fcie také, že 
$f(0)=f'(0)=0$, $g(0)=0$ a $g'(0)>0$. 
Potom existuje okolie $O$ bodu $0$ také, že:\\
\moznostIII{$\forall x \in O; f(x)\not =g(x)$}
\moznostIII{$\forall x\in O; x\not =0; |f(x)|<|g(x)|$}
\moznostIII{$\forall x\in O; f(x)\leq g(x)$}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
% FIXME
Intuitívne: $f$ môže pokojne byť niečo škaredo oscilujúce, nemá 
prečo byť ohraničená $g$ na nejakom intervale.
Asi by som to ale nechal nezaškrtnuté :)
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:\R\to\R$ je 2x dif. a nech má $f''$ záporné maximum. 
Vyplýva z existencie konečnej $lim_{x\to\infty} f(x)$ 
existencia konečnej $lim_{x\to\infty} f'(x)$?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Keďže $f''$ je záporná, $f'$ je klesajúca. 
Vieme, že $f$ je rastúca, lebo keby nebola, môže byť buď klesajúca, 
vtedy ale z konkávnosti má v $\infty$ limitu $-\infty$, 
alebo nie je prostá, vtedy existujú $a<b$ také, že $f(a)=f(b)$, 
teda z Rollovej vety existuje $c$, v ktorom $f'(c)=0$, 
od neho ďalej je z konkávnosti klesajúca a sme, kde sme boli. 
No a keď je $f$ rastúca, konkávna a má konečnú limitu, 
má $f'$ zjavne limitu 0. Presný dôkaz nechávam na čitateľa, 
vyplýva to z faktov, že $f'$ klesá, je kladná 
a vieme sa dostať ľubovoľne blízko k $0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech 2x dif. fcia $f:\R\to\R$ je nezáporná na $R-\{ 0\}$ 
a nech $f(0)=0$. Potom: \\
\moznostI{$f'(0)=0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)=0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostI{$f'(0)<0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)<0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostI{$f'(0)>0 \land f''(0) \geq 0$}
\moznostIII{$f'(0)>0 \land f''(0) \leq 0$}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Keďže $f$ je dif., je spojitá, 
keďže je nezáporná na $R-\{ 0\}$, je $f'(0)=0$ 
(limita sprava je limita výrazu, ktorý je určite nezáporný, 
zľava nekladný, preto $f'_+(0)\geq 0 \land f'_-(0)\leq 0$,
keďže derivácia existuje, musí byť nulová).

Keby bola $f''(0)<0$, bola by $f'$ na nejakom intervale
$(0,\eps)$ záporná -- potom by ale na tomto intervale 
bola záporná aj $f$, čo je spor. Preto $f''(0)\geq 0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech diferenc. fcia $f:(0,1)\to\R$ má ohraničenú $f'$. 
Vyplýva z toho, že $f$ je ohraničená?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Áno. Dôkaz: 
Zoberieme hodnotu $c=f\left( {1\over 2}\right)$, 
položíme $d = \sup f', e=\inf f'$, 
ukážeme, že celý graf napravo leží pod $d(x-{1\over 2})+c$, 
nad $e(x-{1\over 2})+c$, 
naľavo pod $e(x-{1\over 2})+c$, 
nad $d(x-{1\over 2})+c$.\\
Že časť napravo leží pod $d(x-{1\over 2})+c$: 
Zoberme funkciu $g(x)=d(x-{1\over 2})+c-f(x)$, 
tá má v každom bode z $\left< {1\over 2},1\right)$ deriváciu nekladnú, 
teda je nerastúca, v ${1\over 2}$ je $0$, 
preto je na $\left< {1\over 2},1\right) $ nekladná. 
Ostatné analogicky. \\
Potom ale vidíme, že funkčné hodnoty sú zhora ohraničené 
$\max ({d\over 2}+c,-{e\over 2}+c)$ 
a zdola $\min (-{d\over 2}+c,{e\over 2}+c)$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Prvá derivácia funkcie $x^2(\sgn x)^3$ v bode $0$:\\
\moznostI{je vlastná}
\moznostI{je nevlastná}
\moznostI{neexistuje}

\begin{riesenie}
Intuitívne je to $0$. 
Kto neverí, nech si nakreslí, kto stále neverí, nech si zráta.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje spojitá $f:\R\to\R$, 
ktorá má v každom bode z $\R$ nevlastnú deriváciu?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Neexistuje. 
Zoberme ľubovoľné $a,b\in\R, a<b$. 
Z Lagrangeovej vety existuje $c$ také, že $f'(c)={f(b)-f(a)\over b-a}$, 
takže derivácia v $c$ je vlastná.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Tvrdenie: ``Ak $f:\R\to\R$ je 3x diferenc. fcia, 
$\forall x\in\R; f^{(3)}(x)<0$, $f(0)=f'(0)=f''(0)=2$, tak 
$\forall x\in\R-\{ 0\} ; f(x)\leq x^2+2x+2$." je:\\
\moznostI{pravdivé}
\moznostI{nepravdivé}

\begin{riesenie}
Zoberme funkciu 
$f(x)=-x^3+x^2+2x+2$, je $f'(x)=-3x^2+2x+2, f''(x)=-6x+2, f^{(3)}(x)=-6$, 
takže $f(0)=f'(0)=f''(0)=2$ a $\forall x; f^{(3)}(x)<0$, 
teda $f$ spĺňa podmienky zo zadania. 
Je ale $f(-1)=2>1=(-1)^2+2.(-1)+2$, preto tvrdenie neplatí. 
Pozn.: keby bolo v zadaní o deriváciu viac, tak by to platilo.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nech $f:(-1,1)\to\R$ je dif. fcia taká, že 
$f'(0)=0$ a $\forall x\in (-1,1)-\{ 0\} ; f'(x)<0$. Potom:\\
\moznostIII{$f$ je klesajúca v bode $0$}
\moznostIII{$f$ nie je klesajúca v bode $0$}
\moznostII{žiadna z predchádzajúcich možností nie je správna}

\begin{riesenie}
Existuje okolie $0$, na ktorom $f$ klesá, a teda $f$ je klesajúca v $0$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Existuje spojitá fcia $f:\R\to\R$, 
ktorá má v bode svojho lokálneho extrému 
nevlastné jednostranné limity opačných znamienok?\\
\moznostI{áno}
\moznostI{nie}

\begin{riesenie}
Napríklad $f(x)=\sqrt{|x|}$.
\end{riesenie}

% =============================================

\uloha
Nájdite vzorec pre $(g^3)''$, kde $g=f^{-1}$, pomocou derivácii $f$.

\begin{riesenie}
Nech existuje nenulová $f'(f^{-1}(x))$. Potom:
$$\left( (f^{-1}(x))^3 \right)^{(3)}=
  \left( 3(f^{-1}(x))^2\cdot {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)' =$$
$$= 3\cdot \left( 2f^{-1}(x)\cdot \left( {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)^2 
  \ +\ (f^{-1}(x))^2\cdot {(f'(f^{-1}(x)))'\over (f'(f^{-1}(x)))^2 } \right)=$$
$$= 3\cdot \left( 2f^{-1}(x)\cdot \left( {1\over f'(f^{-1}(x))} \right)^2 
  \ +\ (f^{-1}(x))^2.f''(f^{-1}(x))\cdot {1\over (f'(f^{-1}(x)))^3 } \right)=$$
$$= {3f^{-1}(x)\over (f'(f^{-1}(x)))^2 }\cdot \left( 2
  \ +\ {f^{-1}(x).f''(f^{-1}(x)) \over f'(f^{-1}(x)) } \right)$$
Prípad, keď je $f'(f^{-1}(x))=0$, si láskavý čitateľ 
(keďže nemá na výber) doplní sám.
\end{riesenie}

\end{document}