\documentclass{article}
\usepackage{slovak}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{verbatim}

% Ma pisat aj riesenia? Ak nie, tento riadok vykomentuj
\def\pisriesenia{1}

\newcounter{cntuloha}
\def\uloha{\noindent\stepcounter{cntuloha}{\bf \arabic{cntuloha}. }}
\ifx\pisriesenia\undefined
 \let\riesenie=\comment 
 \let\endriesenie=\endcomment
\else
 \newenvironment{riesenie}{%
 \begin{center}\begin{minipage}{0.8\textwidth}%
 {\sl Riešenie.}\\}{\end{minipage}\end{center}}
\fi


\begin{document}
\centerline{\Large\sc MatAlýza -- zo zimnej skúšky}
\medskip
\centerline{\large \copyright MišoF. 1999/00}
\bigskip

% ==============================================

\uloha
Dokážte nerovnosť: $\forall x\in (1,2);\ x-1<\log_2(x)$

\begin{riesenie}
Stačí si uvedomiť, že graf funkcie $f_1(x)=x-1$ je priamka, ktorá pretína
graf funkcie $f_2(x)=\log_2 x$ v bodoch 1 a 2 a že funkcia $f_2$ je na
tom intervale konkávna. A teraz ešte raz a poriadne.

Zoberme fciu $f(x)=\log_2(x)-x+1$ definovanú na $\left< 1,2\right> $,
dokážme, že na $(1,2)$ je kladná. Je $f'(x)={1\over x.\ln 2}-1$. Zjavne
pre $x_0={1\over \ln 2}=\log_2 e\in (1,2)$ je $f'(x)=0$, 
pre $x>x_0$ je $f'(x)<0$
a pre $x<x_0$ je $f'(x)>0$. Preto $f$ je na $\left< 1,\log_2 e\right>$
rastúca a na $\left< \log_2 e,2\right>$ klesajúca, a keďže je $f(1)=f(2)=0$,
je $\forall x\in (1,2); f(x)>0$, q.e.d.
\end{riesenie}

% ==============================================

\uloha
Dokážte:
$$
  \forall x\in\left< 0,a\right>;\ 
  x^m (a-x)^n
  \leq 
  {m^n n^n a^{m+n}\over (m+n)^{m+n}}
$$

\begin{riesenie}
Označme $f(x)=x^m (a-x)^n$. Potom jej derivácia je 
$$f'(x)=mx^{m-1} (a-x)^n - n x^m (a-x)^{n-1} = 
 x^{m-1} (a-x)^{n-1} \bigl( m(a-x)-nx \bigr)$$

Vidíme, že $f'(x)=0$ pre $x_1=0$, $x_2=a$ a $x_3={am\over m+n}$, to sú 
kandidáti na lokálne extrémy. Všimnime si, že $x_3\in \left<0,a\right>$.
Spočítajme teraz druhú deriváciu.

$$f''(x)=x^{m-2} (a-x)^{n-2} 
  \Bigl( 
    (m-1)(a-x)\bigl(am-(m+n)x\bigr) \ - 
  \Bigr.
$$
$$
  \Bigl.
  -\ (n-1)x\bigl(am-(m+n)x\bigr) - (m+n)x(a-x) 
  \Bigr)
$$

Ako ľahko zistíme dosadením, pre $x_1$ a $x_2$ je tento výraz kladný, 
pre $x_3$ je záporný. 
Preto má $f$ v $x_3$ lokálne maximum, v $x_1$ a $x_2$ lokálne minimá.
Opäť ľahko nahliadneme, že 
$\forall x\in (0,a);\ f(x)\leq f(x_3)$. 
Spočítajme teda $f(x_3)$.

$$f(x_3)=
  \left( {am \over m+n} \right)^m 
  \cdot 
  \left( a - {am \over m+n} \right)^n
  =
  {a^m m^m\over (m+n)^m}
  \cdot 
  {a^n n^n\over (m+n)^n}
  =
  {m^n n^n a^{m+n}\over (m+n)^{m+n}}
$$ 

A to sa už podobá zadaniu ako vajce valcu.
\end{riesenie}

% ==============================================

%   p-1        p  p    p-1
%p*y   (x-y)<=x -y <=px   (x-y)
%


%    vysledok (f.g)'(a)=  , ak g'(a)=-oo

%    dokazat postacujucu podmienku konkavnosti = ze derivacia je klesajuca

%
%
%
%2. vlastnosti spojitych funkcii na kompaktoch
%
%3. derivacia inverznej funkcie v pripade, ze f'(f^-1(a))=0.
%
%
%1. pomocou vzorca pre deriv. inv. fcie vyjadrite
%   (arcctg)'(x)
%2. postacujuca podmienka existencie konvergujucej
%   podpostupnosti (Weierstrassova veta)
%3. deriv. inv. funkcie ak f(f^(-1)(a))=-oo
%
%1.
%  1        p        p
%------ <= x  + (1-x)  <= 1
%  p-1
% 2
%
%kde x je z intervalu <0,1> a p>1 (pozor! p nemusi byt prirodzene)
%navod:
%      p       p
%f(x)=x + (1-x)
%           p-1
%f(1/2)=1/(2   )
%        p-1         p-1
%f'(x)=px    - p(1-x)
%               p-1      p-1
%f''(x)=p(p-1)(x    + (1-x)  )
%kedze p>0, p-1>0, x>0, 1-x>0...., f''(x)>0 -> f'(x) je rastuca
%kedze f'(1/2)=0 a je rastuca, f na intervale <1/2,1> je rastuca         p-1
%and na intervale <0,1/2> klesajuca. z toho vyplyva, ze f(x)>=f(1/2)=1/(2   ).
%f(0)=1=f(1), cize plati aj druha nerovnost....
%
%2. vlastnosti spojitych funkcii definovanych na uzavretych ohranicenych
%intervaloch.
%                                                    -1
%3. skonstruujte a dokazte vetu o derivacii funkcie f  , ked
%    -1
%f'(f  (a))=nekonecno
%vysledok by mal byt asi takyto: nech f je spojita, rydzo monotonna
%                                      -1                   -1
%funkcia definovana na intervale a f'(f  (a))=+nek. potom (f  )'(a)=0.
%dokaz prenechavame na usilovneho citatela... rovnako odporucam porozmyslat
%nad tym, preco musi byt f spojita, rydzo monotonna a definovana na
%intervale.
%
%s pozdravom
%
%bobes
%
%
%
%1.
%Teda samozrejme to bolo treba dokazat.
%A to hore su mocniny.
%2.
%Dokaz vety o limite suctu, ak jedna z nich je -oo a druha je z
%normalneho R.
%3.
%Postacujuca podmienka rydzej konkavnosti funkcie.
%
%  3.- Vygenerovat vetu (s dokazom) o derivacii podielu ak g'(x)=-oo
%       -islo o to aby vygenerovane tvrdenie bolo pravdive a nie az tak
%        o jeho doslednost(myslim pripad f(x)=0)
%      (aj toto bolo aspon raz zvestovane)
%
%Toto som mal na ustnej:
%
%2. Charakter a 'pocet' bodov nespojitosti monotonnej funkcie definovanej na
%intervale.
%
%3. Sformulujte a dokazte vetu o druhej derivacii inverznej funkcie.
%
%Konec optimizmu(mal som za 3)
%
%Vela stastia tym, ktory este nespravili!!!
%
%1.priklad : 2*arctan x + arcsin (zlomok-najdete v zbierkach) = pi*sgn x
%            |x|>=1.
%   nezabudnite na spojitost v bodoch 1 a -1 !
%2. Limity monotonnych fcii a cislo e.
%   -vybrat si jednu vetu a dokazat ju (k ecku som sa nedostal )
%3. Druha derivacia inverznej fcie.
%
%
%  1. Dokazte:
%         |arctg(x)-arctg(y)| <= |x-y|
%  2. Postacujuca podmienka spojitosti inverznej funkcie.
%  3. Sformuluj vetu o derivacii zlozenej fcie, ak f'(g(x))=oo .
%
%  To je tak asi vsetko, vela stastia.....
%
%1: Dokazte
%      tg x > x    ;   x e (0, pi/2);
%  Urobi sa funkcia tg  x - x a dokaze sa ze  je viac ako obycajna nula (derivacia>0 , v 0 je rovna 0)
%
%2: Vlastnosti spojitych funkcii na kompaktoch.
% Dve vety a jeden dokaz podla vlastnej lubovole....
%
%3: Vyslovit vetu a podmienky k derivacii  1/g(x) pricom g`(x)=oo
% Cize musi existovat lim 1/g(x) alebo ! 1/g(x) je niekde iba kladne(zaporne) atd....
%
% 1. Dokazte:
%      1
%   ------- <= x^p + (1-x)^p <= 1
%   2^(p-1)
%
%   >> Dvakrat zderivovat a je to v suchu
%
%2. Suvis spojitosti monotonnych funkcii s ich oborom hodnot.
%   >> Chcel vetu, ze monotonna funkcia ktorej D(f) a H(f) su
%   >> intervaly je spojita + dokaz cez nerovnost jednostrannych
%   >> limit.
%
%3. Sformulujte a dokazte vetu o druhej derivacii inverznej funkcie.
%   >> Stacilo mu odvolat sa na vetu o prvej derivacii a zderivovat
%   >> vzorec a este povedat predpoklady existencie druhej derivacie
%
%
%1. Pomocou diferencialneho poctu dokaz rovnost:
%            3*arccos(x)-arccos(3*x-4*x^3))=Pi, pricom |X|<=1/2
%
%2. Vety o limitach monotonnych funkcii.
%            (islo o vety v style:
%     Nech a je hr. bod D(f) prienik (-oo,a) a f-cia je na mnozine D(f) prienik
%(-oo,a) rastuca, potom limita zlava je rovna supremu mnoziny f(x).
%
%3. Vyslov vetu o derivaci inverznej funkcie ak derivacia f v bode f^(-1) je
%   rovna oo.
%
%
%1. Pomocou L'Hospitala vypocitaj lim ((arcsin x)/x)^(1/x^2) x->0
%2. Veta o limite zlozenej funkcie.
%3. Postacujuca podmienka existencie lokalneho extremu n-krat diferencovatelnej
%funkcie.
%1. dokaz | cotg(x) - cotg(y) | >= | x - y |
%2. podmienky spojitosti inv. funkcie
%3. veta o derivacii podielu (f/g)' ak g'= oo
%
%        - dokazte x/(x+1) < ln(1+x) < x
%        - Definicia a dokaz existencie e.
%        - Vyjadrite (f.g)`(a) ak f`(a)= nekonecno
%          (POZOR ako vidiet, tu nemozno pouzit klasicku vetu a derivacii
%          sucinu. Teda treba vyslovit vlastnu vetu s nejakymi predpokladmi a
%          samozrejme ju dokazat)
%
%
%ustna:
%1. dokazte: x^1/n + a^1/n < (x+a)^1/n      (x je z N; a>x>0)
%
%da sa to tak, ze vyjadrite a=x+d, kde d>0; upravite, na n tu umocnite,
%a vyjde vam ze nejake nenulove cleny bin. rozvoja su vacsie ako 0 ...
%
%2. postacujuce podmienky spojitosti inverznej fcie
%
%spojita (de facto nemusi byt spojita ale boss vam to zoberie), def. na
%intervale, cize rydzomonotonna; uz to len dokazat ...
%
%3. sformulujte a dokazte vetu pre der. zlozenej fcie ak
%f'(x)=nekonecno a g(f(x))'=-nekonecno
%
%der. zlozenej fcie je -nekonecno ...; dokaz nie je problem, treba ale
%vyslovit vsetky podmienky

\end{document}