Len stručne, lebo lepšie ako Kubáček to aj tak nenapíšem (skriptá sú tu (MA I) a tu (MA II), resp. for your convenience MA II: pozliepaná verzia v jednom PDFku).

Limita funkcie

Definícia limity

limita fcie: (Cauchy) Nech $a \in \R$ je hrom. bod $D(f)$. $f$ má v bode $a$ limitu $b$ ($\in \Rx$), ak $$\forall \O(b)\c \exists \P(a)\c \forall x \in \P(a) \cap D(f)\c f(x) \in \O(b)$$ Ekvivalentné s: pre každú postupnosť $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} \subset D(f) \setminus a$ takú, že $lim_{n\to\infty} a_n = a$ platí, že $lim_{n\to\infty} f(a_n) = b$ (Heine). -!D: ⇐ priamo, ⇒ nepriamo (prídeme k niečomu, čo $\neq b$)

vety o limitách: Fcia má v každom hrom. bode $D(f)$ najviac jednu limitu. -!D: sporom; lemy: nech $g$ je zúženie $f$ a existuje $\lim_{x\to a} g(x)$, alebo nech sa zhodujú na niektorom $P(a)$. Potom $\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x)$.
ak $lim_{x\to a} f|_{M_1}(x) \neq lim_{x\to a} f|_{M_2}(x)$, tak $lim_{x\to a} f(x)$ neexistuje.
ak $lim_{x\to a} f|_{M_1}(x) = lim_{x\to a} f|_{M_2}(x)$ a navyše $M_1 \cup M_2 = D(f)$, tak $lim_{x\to a} f(x)$ existuje a je rovná tamtomu.
!D: cez okolia; Ak $f$ je elementárna fcia a $a \in D(f)$ je hrom. bod $D(f)$, tak $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.

“Počítanie” s limitami

Pomocné nezáživné vetičky:

O konštante: nech $k \in \R$. Potom platí: ak $\forall x \in \$\c f(x) = k$, tak $\forall a \in \Rx\c \lim_{x\to a} f(x) = k$ (elementárna fcia); ak $\lim_{x\to a} f(x) = b$, tak $\lim_{x\to a} (k \cdot f(x)) = kb$ -!D pre $k \neq 0$: zoberiem $\frac{\eps}{|k|}$; ak $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$, tak $\lim_{x\to a} (f(x) + k) = \infty$ -!D: trápny; ak $k > 0$ a $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$, tak $\lim_{x\to a} (k \cdot f(x)) = \infty$ -!D: zoberiem $\frac{K}{k}$
O znamienkach: ak $\lim_{x\to a} f(x) = b$, tak $\lim_{x\to a} |f(x)| = |b|$ -!D: $\left||r| - |s|\right| \leq |r - s|$; $\lim_{x\to a} f(x) = 0$ práve vtedy, keď $\lim_{x\to a} |f(x)| = 0$ -!D: $O(\eps, 0)$ je symetrické; $\lim_{x\to a} f(x) = \infty$ práve vtedy, keď $\lim_{x\to a} (-f(x)) = -\infty$
Násobenie skoro nulou: Nech $f,g:M\to R$, $\lim_{x\to a} f(x) = 0$ a $g$ je ohraničená, tak $\lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = 0$ -!D: zvoľme $K$: $\forall x \in M\c |g(x)| \leq K$; zoberieme $\frac{\eps}{K}$

Hlboká pointa:

Operácie s limitami: Nech $f,g:M\to R$, $\lim_{x\to a} f(x) = r \in \R$, $\lim_{x\to a} g(x) = s \in \R$. Potom platí

$\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = r + s$ -!D: $\TODO$

$\lim_{x\to a} (f(x)-g(x)) = r - s$ -!D: $\TODO$

$\lim_{x\to a} (f(x)g(x)) = rs$ -!D: $\TODO$

ak navyše $\lim_{x\to a} g(x) \neq 0$, tak $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{r}{s}$ -!D: $\TODO$

Limita zloženej fcie:

Nech $a \in \Rx$ je hrom. bod $D(g\circ f)$, nech $\lim_{x\to a} f(x) = b \in \Rx$, $\lim_{y\to b} g(y) = c \in \Rx$. Ak je splnená aspoň jedna z podmienok:

$\forall x \in D(f)\setminus {a}\c f(x) \neq b$
$b \notin D(g)$
$g(b) = c$

tak $\lim_{x\to a}(g\circ f)(x) = c$.

!D: $\TODO$

Zvyšok je $\TODO$

Spojité funkcie

$\TODO$

Diferenciálny počet funkcií jednej reálnej premennej

$\TODO$

Vety o strednej hodnote

Rolleho veta o strednej hodnote

$\TODO$

Lagrangeova veta o strednej hodnote

$\TODO$

Cauchyho veta o strednej hodnote

Nech $f, g\c \langle a,b \rangle \to \R$ sú spojité fcie, dif. na $(a,b)$ nech

$f’^2(x) + g’^2(x) > 0, x \in (a,b)$ (mucha - nesmie zastať)
$g(a) \neq g(b)$

Potom $\exists c \in (a, b)$ také, že $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f’(c)}{g’(c)}$

Geometrická interpretácia: krivka ($x = f(t)$, $y = g(t)$), podmienky ⇒ hladká; je to to isté, ako Lagrange, len pre krivku

!D Dokážeme: $$ f’(c)(g(b) - g(a)) - g’(c)(f(b) - f(a)) = 0$$ Nech $F(x) = f(x)(g(b) - g(a)) - g(x)(f(b) - f(a)) = 0$. Potom hento čudo je $F’$, $F$ spĺňa predpoklady Rolleho vety ($\TODO$), preto $\exists c \in (a, b)\c F’(c) = c$
Ešte overiť, či tú rovnosť môžem predeliť: $g(b) - g(a) \neq 0$ mám ošetrené predpokladom 1; $g’(c) \neq 0$: sporom: $g’(c) = 0 \Rightarrow g’(c)(f(b) - f(a)) = 0 \Rightarrow f’(c)(g(b) - g(a))$ ⇒ spor s 1.

L’Hospitalovo pravidlo

Prvé L’H pravidlo ($0/0$)

Nech $a \in \Rx$ je hrom. bod intervalu $I$, nech $f,g\c I \setminus {a} \to \R$, nech sú diferencovateľné, ak

$\lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x) = 0$
$f’^2(x) + g’^2(x) > 0, x \in I \setminus {a}$
$g(x) \neq 0, x \in I\setminus{a}$
existuje vlastná alebo nevl. $\lim_{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = L \in \Rx$ Potom $$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} $$

Reálne overiteľné je miesto 1. a 2. použiť $g’(x) \neq 0$ (!D => 3: Rolle)

!D Ak $a \in \R$: dodefinujeme $f(a) = g(a) = 0$, dostaneme spojité, dif. na $I\setminus {a}$. Potom $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = |CVSH| = \frac{f’( c)}{g’(c)} $ (a $c$ je aspoň tak blízko k $a$ ako $x$)
4 => Pre $\O(L)$: $\exists \P(a)\c \forall c \in P(a)\cap D\left(\frac{f’}{g’}\right)\c \frac{f’(c)}{g’(c)} \in \O(L)$. $x\in\P(a) \Rightarrow c\in\P(a)$

Ak $a = +\infty$: subst $x = 1/t$, overím hentie podmienky, použijem L’H

Druhé L’H pravidlo ($\infty/\infty$)

Nech $a \in \Rx$ je hrom. bod intervalu $I$, nech $f,g\c I \setminus {a} \to \R$ sú diferencovateľné fcie, pričom

$\lim_{x\to a} |g(x)| = \infty$
$f’^2(x) + g’^2(x) > 0, x \in I \setminus {a}$
existuje vlastná alebo nevl. $\lim_{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = L \in \Rx$ Potom $$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} $$

!D vymyslím si $b \in \R$ a tlačím podobne ako pri 1.L’H ($\TODO$)

Taylorove polynómy

archeologická

Nech $P$ je polynóm stupňa najviac $n$. Potom $P(x) = P(0) + P’(0) x + \frac{P”(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{P^{(n)}(0)}{n!}x^n$ !D $\TODO$

Taylorov polynóm

Nech $f$ je $n$-krát diferencovateľná na intervale $I$ a $n$-krát diferencovateľná v bode $a \in I$. Polynóm $$ T_n(x) = f(a) + f’(a) (x-a) + \frac{f”(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ sa nazýva Taylorov polynóm rádu $n$ fcie $f$ v bode $a$. Ak $a = 0$, hovoríme Maclaurinov.

lokálne najlepšia aproximácia

Nech $f\c I \to \R$ je $(n-1)$-krát diferencovateľná na $I$ a $n$-krát diferencovateľná v bode $a$. Potom

polynóm stupňa nanajvýš $n$ je Taylorovým polynómom rádu $n$ fcie $f$ práve vtedy, keď $$ \lim_{n\to a} \frac{f(x) - P(x)}{(x-a)^n} = 0 $$
pre $\forall$ polynóm $P$ stupňa nanajvýš $n$ odlišný od $T_n$ fcie $f$ v bode $a$ existuje $\P(a)$ s vlastnosťou $$ \forall x \in \P(a) \cap I\c |f(x) - T_n(x)| < |f(x) - P(x)| $$

Po ľudsky: Taylor je taký polynóm st. nanajvýš $n$, ktorý $f$ lokálne aproximuje najlepšie ako sa len dá.

Neurčitý integrál

Definícia

primitívna fcia: k $f$ je diferencovateľná fcia $F\c G \to \R$, pre ktorú platí: $\forall x \in G\c F’(x) = f(x)$
(prípadné krajné body ogabeme)

neurčitý integrál k fcii $f$: množina $\forall$ primitívnych fcií k $f$; ozn. $\int f(x) \dx$
platí: nech $F\c I \to \R$ je primitívna k $f\c I \to \R$, potom $G\c I \to \R$ je primitívna k $f$ práve vtedy, keď $\exists C \in \R\c G(x) = F(x) + C$; a potom veselosti so zjednotením intervalov (!D: $\TODO$)

spojitá fcia má primitívnu: Nech $f$ je spojitá fcia definovaná na intervale. Potom k nej existuje primitívna fcia. !D: $\TODO$

Metódy integrovania

integrovanie rozkladom

Nech $f_1, \ldots, f_n$ sú def na intervale $I$; nech $F_i$ je primitívna fcia k $f_i$, nech $c_1, \ldots, c_n \in \R$. Potom fcia $c_1 F_1 + \ldots + c_n F_n$ je primitívna k fcii $c_1 f_1 + \ldots + c_n f_n$.
!D: $\TODO$

metóda substitúcie

Nech $I$, $J$ sú intervaly, nech $F$ je prim. k $f\c I \to \R$; nech $\phi\c J \to \R$ je diferencovateľná a $\phi(J) \subset I$. Potom fcia $F(\phi(x))$ je prim. k fcii $f(\phi(x))\phi’(x)$. Teda $$ \int f(t) dt = F(t) + C \implies \int f(\phi(x))\phi’(x) \dx = F(\phi(x)) + C $$

Teda ak hľadáme $\int g(x) \dx$, a podarí sa nám $g(x)$ zapísať v tvare $f(\phi(x))\phi’(x)$, pričom $\int f(x) \dx$ poznáme, tak vieme nájsť aj $\int g(x) \dx$.

Navyše ak $\phi$ je prostá, tak vieme použiť aj $\phi^{-1}$: ak hľadáme $\int f(x) \dx$, a vieme, že $\int f(\phi(t))\phi’(t) \d t = F(t) + C$, tak $\int f(x) \dx = F(\phi^{-1}(x)) + C$.

Substitúcia je radosť, lebo môžme substituovať fakt všeličo. Za spomenutie stoja napr. goniometrické substitúcie ($x = a \sin t$, $x = a \cos t$, $x = a \tan t$, $x = \frac{a}{\cos t}$, …).

metóda per partes: Nech fcie $u, v\c I \to \R$ sú diferencovateľné na intervale $I$ a nech existuje primitívna fcia k fcii $uv’$. Potom existuje aj primitívna fcia k fcii $u’v$ a platí $$ \int u’(x) v(x) \dx = u(x)v(x) - \int u(x) v’(x) \dx $$

Poznámka: Diferenciálny zápis je super. Keď sa tie veci prepíšu na diferenciály zápis, zrazu to začne vyzerať zmysluplne.

Ešte sa vyskytli rekurentné vzťahy (mlátime per partes až kým nedostaneme niečo, z čoho vyjadríme $I_n$ v závislosti od $I_m$, $n \neq m$) a metóda neurčitých koeficientov (ak vieme tvar, tak si čosi tipneme a derivovaním doladíme konštanty).

Integrovanie racionálnych fcií

$\TODO$

Integrovanie niektorých goniometrických fcií

$\int \sin^n x \cos^m x \dx$: $\TODO$
univerzálna substitúcia: pointa: integrovanie (racionálnej) fcie $R(\sin x, \cos x)$ možno previesť na integrovanie racionálnej fcie premennej $t$ substitúciou $\tan \frac{x}{2} = t$, $\sin x$ a $\cos x$ majú potom príjemné vyjadrenie (len sa k nemu nepríjemne dostáva). Treba ale doriešovať nespojitosť.; $\TODO$ poriadne

Občas sa dá substituovať aj napríklad $\tan x = t$, $ \sin x = t$ alebo $\cos x = t$.

Riemannov určitý integrál

Definícia a základné vlastnosti

delenie intervalu: $\TODO$

dolný (resp. horný) integrálny súčet: $\TODO$

určitý (Riemannov) integrál

$f$ je Riemannovsky integrovateľná na intervale $\langle a, b \rangle$ vtedy, keď $$ \underline{\int_a^b} f(x) \dx = \overline{\int_a^b} f(x) \dx \overset{ozn.}{=:} \int_a^b f(x) \dx $$ a $\int_a^b f(x) \dx$ sa nazýva určitý (Riemannov) integrál fcie $f$

(ozn. $f \in \Riem{a,b}$)

Tu majú byť nejaké vlastnosti (veta 4, 5, 6 zo skrípt): $\TODO$

ďalšie vlastnosti

(aditívna vlastnosť) Nech $f\c \langle a, b \rangle \to \R$ je ohraničená fcia, nech $a < c < b$. Potom $f \in \Riem{a,b}$ práve vtedy, keď $f \in \Riem{a,c}$ a súčasne $f \in \Riem{c,b}$. Naviac $\int_a^b f(x) \dx = \int_a^c f(x) \dx + \int_c^b f(x) \dx$.

ekvivalent integrovania rozkladom pre určité

$f \in \Riem{a,b} \land g \in \Riem{a,b} \implies f \circ g \in \Riem{a,b}$
dôsledky:

$fg \in \Riem{a,b}$
$|f| \in \Riem{a,b}$
ak naviac $\inf_{x \in \langle a, b \rangle} g(x) > 0$ alebo $\sup_{x \in \langle a, b \rangle} g(x) < 0$, tak aj $f/g \in \Riem{a,b}$

Nech $f, g \in \Riem{a,b}$ a $\forall x \in \langle a, b \rangle \c f(x) \leq g(x)$. Potom $\int_a^b f(x) \dx \leq \int_a^b g(x) \dx$

špeciálne: konštanta, absolútna hodnota

Výpočet určitého integrálu pomocou neurčitého

Newtonov-Leibnizov vzorec: Nech $f \in \Riem{a,b}$ a má na $(a, b)$ primitívnu fciu $F$, pričom $\exists$ vlastné limity $\lim_{x \to a+} F(x)$ a $\lim_{x \to b-} F(x)$. Potom $$ \int_a^b f(x) \dx = \lim_{x \to b-} F(x) - \lim_{x \to a+} F(x) \overset{ozn.}{=:} [F(x)]_a^b$$

Tu majú byť verzie substitúcie a per partes pre určité integrály.

Číselné rady

Základné pojmy

(nekonečný číselný) rad

symbol $\sum_{n=k}^\infty a_n$, kde ${a_n}_{n=k}^\infty$ ($k \in \N_0$) je postupnosť

blabla, indexy si môžme začať kde chceme (tak napríklad na $k = 1$)

$S_k = \sum_{n=1}^k a_n$ sa nazýva $k$-ty čiastočný súčet radu $\sum_{n=k}^\infty a_n$;
ak $\exists$ konečná limita $\lim_{n\to\infty} S_n :=$ súčet radu, tak rad konverguje, inak diverguje a rozlišujeme:

$\lim_{n\to\infty} S_n = +\infty$: rad diverguje k $+\infty$
$\lim_{n\to\infty} S_n = -\infty$: rad diverguje k $-\infty$
$\lim_{n\to\infty} S_n $ neexistuje: rad osciluje ak rady robia to isté, majú rovnaký charakter

ďalšie pojmy, čo sa mi už fakt nechce písať: $k$-ty zvyšok radu, súčet radov, $k$-násobok radu

geometrický rad: $\sum_{n=0}^\infty aq^n$, $a, q \in \R$ sú pevne dané
($q$: kvocient)
konverguje ak $a = 0$ alebo $|q| < 1$, diverguje ak $q > 1$, osciluje ak $q < -1$
súčet ak $|q| < 1$: $$ \sum_{n=0}^\infty aq^n = \frac{a}{1-q} $$

o urvávaní začiatku: Nech je daná postupnosť ${a_n}_{n=1}^\infty$. Potom rady $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a $\sum_{n=k}^\infty a_n$ majú rovnaký charakter.
Cauchy-Bolzanovo kritérium konvergencie: Rad $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje práve vtedy, keď $$ \forall \eps > 0\c \exists n_0 \in \N\c \forall n \in \N, n > n_0\c \forall p \in \N\c |a_{n+1} + \ldots + a_{n+p} | < \eps $$
nutná podmienka konvergencie (NP): Ak rad $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje, tak $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$

Rady s nezápornými (nekladnými) členmi

čo to je je snáď jasné, nechce sa mi

porovnávacie kritérium

Nech $\sum_{n=1}^\infty a_n$, $\sum_{n=1}^\infty b_n$ sú rady s nezápornými členmi, nech počínajúc niektorým $n_0$ platí $a_n \leq b_n$. Potom z konvergencie radu $\sum_{n=1}^\infty b_n$ vyplýva konvergencia $\sum_{n=1}^\infty a_n$; z divergencie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ vyplýva konvergencia $\sum_{n=1}^\infty b_n$

Špeciálne ak $\sum_{n=1}^\infty b_n$ je rad s kladnými členmi a $\exists$ (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} =: K$. Potom

ak $K \in (0, \infty)$, tak $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ majú rovnaký charakter
ak $K = 0$ a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ konverguje, tak aj $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje
ak $K = \infty$ a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ diverguje, tak aj $\sum_{n=1}^\infty a_n$ diverguje

Riemannove rady

Rad $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ konverguje pre $p > 1$ a diverguje pre $p \leq 1$.
(Volá sa to Riemannove rady a konkrétne pre $p = 1$ harmonický)

d’Alembertovo kritérium

Nech $\sum_{n=1}^\infty a_n$ je rad s kladnými členmi. Potom

ak $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$, tak konverguje
ak počínajúc nejakým $n_0$ platí $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$, tak diverguje

(limitný tvar d’A) Špeciálne, nech $\exists$ (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} =: K$. Ak $K < 1$, tak konverguje, ak $K > 1$ tak diverguje (ak 1 tak netušíme).

Cauchyho kritérium

Nech $\sum_{n=1}^\infty a_n$ je rad s nezápornými členmi. Potom

ak $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} < 1$, tak konverguje
ak pre nekonečne veľa $n \in \N$ platí $\sqrt[n]{a_n} \geq 1$, tak diverguje

(limitný tvar Cauchyho) Špeciálne, nech $\exists$ (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} =: K$. Ak $K < 1$, tak konverguje, ak $K > 1$ tak diverguje (ak 1 tak netušíme)

Raabeho kritérium

Nech $\sum_{n=1}^\infty a_n$ je rad s kladnými členmi. Potom

ak $\liminf_{n\to\infty} n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) > 1$, tak konverguje
ak počínajúc nejakým $n_0$ platí $n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) \leq 1$, tak diverguje

(limitný tvar Raabeho) Špeciálne, nech $\exists$ (vlastná alebo nevlastná) $\lim_{n\to\infty} n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} - 1\right) =: K$. Ak $K > 1$, tak konverguje, ak $K < 1$ tak diverguje (ak 1 tak netušíme)

integrálne kritérium

Nech $f\c \langle 1, \infty) \to \R$ je nezáporná nerastúca fcia. Potom rad $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ konverguje (resp. diverguje) práve vtedy, keď $\lim_{x\to\infty} \int_1^x f(t) \d t$ je vlastná (resp. nevlastná).

Špeciálne, ak $f$ je naviac spojitá, tak rad konverguje (diverguje), ak $\lim_{x\to\infty} F(x)$, kde $F$ je primitívna fcia k $f$, je vlastná (nevlastná).

Absolútne a relatívne konvergentné rady

$a_n$ vs. $|a_n|$: Ak konverguje $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$, tak konverguje aj $\sum_{n=1}^\infty a_n$.
absolútna, relatívna konvergencia: Konvergentný rad sa nazýva absolútne (resp. relatívne) konvergentný, ak rad $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ konverguje (resp. diverguje)

Na vyšetrenie konvergencie radu $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ možno zjavne použiť kritériá z predchádzajúcej sekcie.

rad so striedavými znamienkami: je rad $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n$, kde $a_n > 0$ (resp. $a_n < 0$) počínajúc niektorým $n_0$
Leibnizovo kritérium: Nech ${a_n}_{n=1}^\infty$ je monotónna postupnosť a $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Potom rad $\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n$ (zrejme rad so striedavými znamienkami) konverguje a pre súčet $R_n$ jeho $n$-tého zvyšku platí odhad $|R_n| \leq a_{n+1},\; n \in \N$.